Guía Completa de Cálculo Diferencial e Integral

Cálculo Diferencial e Integral

1. Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión

1º Derivar f(x) e igualarla a 0. Resolver la ecuación resultante para obtener los puntos críticos. 2º Calcular la segunda derivada f''(x) y sustituir los puntos críticos obtenidos en el paso anterior. 3º Igualar la segunda derivada a 0 y resolver la ecuación para encontrar el punto de inflexión. Trazar una recta numérica y seleccionar un número menor y otro mayor que el punto de inflexión. Sustituir estos números en la segunda derivada para determinar la concavidad de la función. 4º Sustituir los puntos críticos del paso 1 y el punto de inflexión del paso 3 en la función original f(x) para obtener las coordenadas y correspondientes.

2. Asíntotas Verticales, Oblicuas y Horizontales

Asíntota Vertical (AV): Igualar el denominador de la función a 0 y resolver la ecuación para obtener el valor de x donde se encuentra la asíntota vertical.

Asíntota Oblicua (AO): Dividir el numerador entre el denominador de la función. La función resultante representa la asíntota oblicua. Para obtener la ecuación de la recta, se puede calcular la pendiente y la ordenada al origen utilizando la función resultante. También se puede evaluar la función original en valores grandes de x (por ejemplo, x = 100 y x = -100) para determinar el comportamiento de la función a medida que x tiende a infinito.

Asíntota Horizontal (AH): Calcular los límites laterales de la función cuando x tiende al valor donde se encuentra la asíntota vertical (por ejemplo, 1.99 y 2.01). Si los límites laterales son iguales, entonces existe una asíntota horizontal en ese valor.

4. Encontrar la Función a partir de sus Derivadas

Dada la información f(0) = 1, f'(0) = 2 y f''(x) = 3x, se puede encontrar la función original f(x) integrando sucesivamente las derivadas. Primero, integrar f''(x) para obtener f'(x): f'(x) = ∫3x dx = (3/2)x² + a. Luego, integrar f'(x) para obtener f(x): f(x) = ∫((3/2)x² + a)dx = (1/2)x³ + ax + b. Sustituir las condiciones iniciales f(0) = 1 y f'(0) = 2 en las ecuaciones para encontrar los valores de a y b. La función resultante será f(x) = (1/2)x³ + 2x + 1.

5. Continuidad y Derivabilidad

1º Calcular el límite de f(x) por la derecha y por la izquierda del número dado. Igualar los límites para asegurar la continuidad. 2º Derivar f(x) y calcular los límites laterales de la derivada. Igualar los límites para asegurar la derivabilidad. 3º Combinar las dos funciones obtenidas en los pasos anteriores para obtener una nueva función. Utilizar el método de reducción para encontrar los valores de a y b que satisfacen las condiciones de continuidad y derivabilidad. 4º Sustituir los valores de a y b en la función original y calcular su derivada. Igualar la derivada a 0 y resolver la ecuación para encontrar los puntos críticos. Verificar si los puntos críticos pertenecen al intervalo dado. 5º Calcular la segunda derivada y sustituir los puntos críticos encontrados en el paso anterior. Analizar el signo de la segunda derivada para determinar si la función es creciente o decreciente en esos puntos.

Fórmulas de Integrales

Integral de una Potencia

• ∫1 dx = x + K
• ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + K
• ∫x^-1 dx = ∫(1/x) dx = ln|x| + K

Integral de Funciones Exponenciales

• ∫e^x dx = e^x + K
• ∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + K

Integral de la Regla de la Cadena

• ∫f(x)ⁿ · f'(x) dx = (f(x)ⁿ⁺¹)/(n+1) + K
• Si g(x) = ln f(x), entonces g'(x) = (1/f(x)) · f'(x). Por lo tanto, ∫(f'(x))/f(x) dx = ln|f(x)| + K
• Si g(x) = e^f(x), entonces g'(x) = e^f(x) · f'(x)
• Si g(x) = a^f(x), entonces g'(x) = a^f(x) · f'(x) · ln(a)