Guía Completa de Cálculo: Optimización, Derivación e Integración

Optimización

1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Plantear la ecuación que relacione las distintas variables del problema.
3. Despejar una de las variables y sustituirla en la función.
4. Derivar la función e igualarla a 0.
5. Relacionar la 2ª derivada para comprobar el resultado:
   • Si f’’(x) < 0 → Máximo
   • Si f’’(x) > 0 → Mínimo

Fórmulas Geométricas

• Área del círculo: πx²
• Perímetro del círculo: 2πr
• Volumen del cilindro: (πr²)h
• Área del semicírculo: (πr²)/2
• Perímetro del semicírculo: πr

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación de la recta tangente: y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)
• Ecuación de la recta normal: y-f(x₀)=(1/f'(x₀))(x-x₀)

Representación de Funciones

Funciones Racionales

• Dominio
• Simetría
• Asíntotas
• Puntos de corte
• Crecimiento
• Curvatura

Valor Absoluto

• Dividir la función en 2.
• Dominio
• Simetría
• Continuidad
• Derivabilidad
• Crecimiento
• Curvatura
• Puntos de corte
• No tiene asíntotas al no ser polinómicas.

Simetría

• Par: f(x)=f(-x)
• Impar: f(-x)=-f(x)

Integrales Inmediatas

• ∫xⁿ dx = (x⁽ⁿ⁺¹⁾)/(n+1) + C
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C
• ∫(f'(x))/(f(x)) dx = ln|f(x)| + C
• ∫e^ff' dx = e^f + C
• ∫sen(f)f' dx = -cos(f) + C
• ∫cos(f)f' dx = sen(f) + C
• ∫(1/√(1-f²))f' dx = arcsen(f) + C
• ∫(-1/√(1-f²))f' dx = arccos(f) + C
• ∫(f')/(1+(f)²) dx = arctg(f) + C

Integración por Partes

• ∫u dv= u v-∫v du
• Poner u y dv, después, du: derivada de u, y, v: integral de dv. Después usar la fórmula y despejar.

Integrales Cíclicas

• Se hace igual que por partes pero se pone una I antes de la integral y llegará un momento que te dé la misma integral que la inicial, ahí se sustituye la integral por una I y se despejan las dos I quedando un resultado + K.

Integrales Racionales

• Si el grado del numerador es mayor o igual: se hace la división y se sustituye aquí: ∫(P(x))/(Q(x)) dx = ∫C(x) dx+∫(R(x))/(Q(x)) dx.
• Si el grado del numerador es menor que el del denominador: se factoriza por factor común o Ruffini el denominador y se hace lo de la ABC, si se repite algún término en la factorización se pone al cuadrado o al cubo dependiendo de las veces que salga. Después se iguala la integral sin el símbolo y el dx con la fracción de la ABC, se despeja quitando denominadores y se despejan las ABC (x², x y nº). Finalmente se hace la integral de la fracción ABC con sus respectivos valores.

Integración por Sustitución

1. Escoger cambio de variable.
2. Calcular dt haciendo la derivada y despejar dx en el resultado de dt.
3. Con la variable t despejar la x para sustituirla en dx, para que dt esté acompañado de términos t.
4. Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio.

Áreas Integrales

• Dibujar las rectas o curvas y señalar la zona. Después hacer las integrales de la o las zonas englobadas siempre definidas con el valor más bajo abajo, y, poner la recta o curva que esté dibujada por encima antes de la que esté abajo, haciendo una resta. Seguidamente realizar las integrales y al sustituir los valores definidos, sustituir primero el de arriba y restar el de abajo. Finalmente poner en el resultado u².

Ingredientes

Los ingredientes actuales son óxido de titanio, nafta de petróleo, alcoholes minerales, resina, dispersante y fragancias.