Guía Práctica de Geometría Analítica: Problemas Resueltos y Explicaciones Claras

1. Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto

Cogemos el vector director de la recta y lo sustituimos en Ax + By + Cz + D = 0. Después, cogemos el punto y lo sustituimos en la x, y, z para sacar D y ya tenemos el plano.

2. Simétrico de P(1,2,1) respecto a una recta r

Empezamos calculando M = proyección de P sobre r, es decir, Π perpendicular a r que contiene a P. Para ello, se coge el vector director de la recta y se sustituye en Ax + By + Cz + D = 0. Después se sustituye x, y, z para sacar D y obtener el plano.

Después de esto, debemos hacer la intersección de Π y r, es decir, se sustituyen x, y, z en el plano por las coordenadas de la recta para obtener λ (lambda). Una vez sacada λ, sustituimos λ en las coordenadas de la recta y obtenemos así el punto M.

Ahora calculamos P', cogiendo el punto P del principio, le sumamos x, y, z, los dividimos entre 2 y los igualamos respectivamente cada uno con las coordenadas del punto M. Ya tenemos P'.

3. Recta que pasa por P y P' perpendiculares a r

Se saca un vector director haciendo PP' y ya hacemos la recta con el punto P del principio y el vector director PP'.

4. Π perpendiculares a un plano que contiene a una recta r

Se coge el vector director del plano que es igual a la normal Ax + By + Cz + D = 0, y por último se coge el vector director de la recta y el punto de la recta para hacer un plano en forma paramétrica de dos incógnitas λ (lambda) y ν (nu).

5. Recta perpendicular común a dos rectas

Primeramente, hacemos la posición relativa (igualando ambas rectas y averiguando λ (lambda) y ν (nu) para saber si se cumple). Si no se cumple, las rectas se cruzan.

Ahora calculamos w, que se hace multiplicando los vectores directores de ambas rectas (tapando). Después debemos calcular Π que contenga a r y tenga dirección w, es decir, cogemos el punto y el vector director de la primera recta y también el vector w. Se hace el determinante con esos tres coordenadas pero restándole al punto P x, y, z y entonces ya tenemos el plano.

Ahora debemos hacer la intersección de la segunda recta con el plano obtenido anteriormente, es decir, se sustituyen la x, y, z del plano por las x, y, z de la recta y así obtenemos ν (nu). Ahora para sacar el punto sustituimos ν (nu) en la segunda recta y con las coordenadas que salgan y el vector w hacemos una recta en paramétrica.

6. Ecuación del plano que pasa por A(1,0,0) perpendiculares a la recta que pasa por B(0,1,0) y C(0,0,1)

Primero obtenemos la normal que es igual al vector BC. Obtenido ya ese vector lo sustituimos en Ax + By + Cz + D = 0 y sustituimos x, y, z para obtener D y así sacar finalmente el plano.

7. Ecuación del plano que pasa por A(1,0,-1) perpendicular a x - y + 2z + 1 = 0 paralela a una recta

Lo primero es asegurarnos de que la recta esté en paramétrica, si no lo está la pasamos para posteriormente obtener su vector director. Y entonces ya podemos calcular el plano en paramétrica (con ν (nu) y λ (lambda)) mediante el punto que nos dan, el vector director de la recta y el vector director del plano que también nos dan.

8. Volumen de una pirámide con puntos A, B, C y D

Primero hacemos los vectores AB, AC y AD y ya por último hacemos el determinante de los tres puntos y lo que salga lo divido entre 6 y ponemos u³.

9. Encuentra la distancia del punto P(1,-1,2) al plano que contiene a la recta r y pasa por el punto A(2,1,3)

Primero sacamos Q que es igual al punto de r, también cogemos el vector directo de r y el vector AQ. Después con estos tres puntos hacemos el determinante de la misma forma que en el ejercicio 5. Una vez hecho ya tenemos el plano que nos ayudará a obtener la distancia.

Entonces ahora mediante la fórmula de la distancia calculamos d(P,Π) = el valor absoluto del plano sustituyendo la x, y, z por el pto P y dividido todo por el módulo de x, y, z del plano. Ponemos u.

10. Te damos una recta y un plano y te pedimos que averigües a para que la recta y el plano sean paralelos

Primero nos cercioramos de que la recta está en paramétrica y después sacamos la normal que es igual al vector director del plano y también sacamos el vector director de la recta. Como deben ser paralelas la normal debe ser perpendicular al vector director de r, por lo tanto multiplicamos n por d_r e igualamos a 0 (Ej: (a,2,-3) por (1,a,2) = a + 2a - 6 = 0; a = 2).

Una vez que tenemos a, volvemos a calcularla para cerciorarnos de que sale el mismo valor, esto se hace cogiendo el plano del principio y sustituyendo x, y, z por las coordenadas de la recta.