Interpolación Polinómica y Splines: Métodos Numéricos Esenciales

Interpolación Polinómica: Fundamentos y Unicidad

Dados n+1 escalares distintos x₀, x₁,..., x_n (conocidos como nodos), y n+1 escalares (iguales o distintos) y₀, y₁,..., y_n, existe un único polinomio p de grado menor o igual que n, tal que p(x_i) = y_i para i = 0, 1, 2,..., n.

Polinomios de Lagrange

Sean los n+1 polinomios L_k(x) definidos como:

L_k(x) = (x − x₀) / (x_k − x₀) * (x − x₁) / (x_k − x₁) * ... * (x − x_k−1) / (x_k − x_k−1) * (x − x_k+1) / (x_k − x_k+1) * ... * (x − x_n) / (x_k − x_n)

para k = 0, 1, 2,..., n. El grado de cada polinomio L_k(x) es n.

Definición del Polinomio Interpolador

Definimos el polinomio interpolador p(x) como la suma ponderada de los polinomios de Lagrange:

p(x) := Σⁿ_k=0 y_kL_k(x)

Esto se expande a:

p(x) = y₀L₀(x) + y₁L₁(x) + ··· + y_nL_n(x)

Este polinomio tiene un grado menor o igual que n y satisface las condiciones de interpolación:

• p(x₀) = y₀
• p(x₁) = y₁
• ...
• p(x_n) = y_n

En general, p(x_j) = y_j para j = 0, 1, 2,..., n.

Demostración de Unicidad

Para demostrar que este polinomio es único, supongamos que existe otro polinomio q, con grado(q) ≤ n, tal que p(x_i) = q(x_i) = y_i para i = 0, 1, 2,..., n.

Consideremos el polinomio diferencia (p − q). El grado de (p − q) es menor o igual que n. Si (p − q) se anula en n+1 puntos (x₀, x₁,..., x_n), esto contradiría el Teorema Fundamental del Álgebra, a menos que (p − q) ≡ 0 (es decir, sea el polinomio nulo). Por lo tanto, p = q, lo que prueba la unicidad del polinomio interpolador.

Interpolación con Splines: Curvas Suaves y Flexibles

Se llama spline a cualquier función s:[a,b]→R con derivada segunda continua, de forma que existen valores x_i con a=x₀ < x₁ < ... < x_n−1 < x_n=b, de manera que s(x) = s_j(x) para x ∈ [x_j, x_j+1], con j = 0, 1, 2,..., n−1, siendo cada s_j un polinomio de grado menor o igual que 3.

Splines Cúbicos y sus Propiedades

Sean x₀, x₁,..., x_n con a = x₀ < x₁ < ... < x_n−1 < x_n = b y y₀, y₁,..., y_n con y_i = f(x_i), donde f es una función que podía no estar dada explícitamente.

Si y'₀ y y'_n son dos números cualesquiera, entonces existe un único spline s:[a,b]→R tal que:

• s(x_i) = y_i, para i = 0, 1, 2,..., n
• s'(a) = y'₀
• s'(b) = y'_n

Las dos últimas condiciones adicionales (sobre las derivadas en los extremos) definen lo que se conoce como el spline completo.

Tipos de Splines Cúbicos

Estas condiciones de contorno pueden sustituirse por otras para definir diferentes tipos de splines:

• Spline Natural: Se impone que la segunda derivada en los extremos sea cero: s''(x₀) = s''(x_n) = 0. (En la notación de coeficientes, esto implica c₀ = c_n = 0).
• Spline Knot-a-Knot: Se impone que la tercera derivada de s sea continua en x₁ y x_n−1. (En la notación de coeficientes, esto implica d₀ = d₁ y d_n−1 = d_n).

Ventajas de los Splines Cúbicos

Los splines cúbicos son ampliamente valorados porque son las curvas menos curvadas entre todas las funciones que interpolan los mismos puntos y satisfacen ciertas condiciones de contorno.

Consideremos f:[a,b]→R con derivada primera continua. Dados a=x₀≤x₁≤...≤x_n−1≤x_n=b, sea s:[a,b]→R el spline que satisface s(x_i)=f(x_i), i=0,1,2,...,n, s'(a)=f'(a) y s'(b)=f'(b). Sea u:[a,b]→R con derivada segunda continua una función tal que u(x_i)=f(x_i), i=0,1,2,...,n, u'(a)=f'(a) y u'(b)=f'(b). Entonces...

(El documento original termina abruptamente aquí, sugiriendo que seguiría una desigualdad o propiedad que demuestra la "menor curvatura" de los splines cúbicos).