Interpretación y Fundamentos del Modelo de Regresión Lineal Múltiple en Econometría

Fundamentos del Modelo de Regresión Lineal

Modelo Poblacional Simple

La estructura general del modelo de regresión lineal poblacional es:

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + u$$

• $Y$: Variable dependiente.
• $X_1$: Variable independiente (explicativa).
• $\beta_0$: Intercepto (ordenada al origen).
• $\beta_1$: Pendiente (coeficiente de la variable explicativa).
• $u$: Término de error estocástico (representa todos los factores no observados).

Interpretación de Coeficientes en Modelos Transformados

A continuación, se presentan ejemplos de interpretación basados en diferentes especificaciones funcionales:

1. Modelo Lineal (Lineal-Lineal):

   $$\text{Salario} = 100 + 1.24 \cdot \text{Ventas} + u$$

   Interpretación: Un aumento de 1 unidad en las ventas provoca un aumento de 1.24 unidades en el salario, ceteris paribus (CP).

2. Modelo Log-Log (Elasticidad):

   $$\text{Log}(\text{Salario}) = 100 + 1.24 \cdot \text{Log}(\text{Ventas}) + u$$

   Interpretación: Un aumento del 1% en las ventas provoca un aumento del 1.24% en el salario, CP.

3. Modelo Log-Lineal (Pendiente Porcentual):

   $$\text{Log}(\text{Salario}) = 100 + 1.24 \cdot \text{Ventas} + u$$

   Interpretación: Cuando las ventas aumentan en 1 unidad (peso), el salario aumenta en un $124\%$ (multiplicado por 100), CP.

4. Modelo Lineal-Log (Cambio Marginal):

   $$\text{Salario} = 100 + 1.24 \cdot \text{Log}(\text{Ventas}) + u$$

   Interpretación: Cuando las ventas aumentan en un 1%, el salario aumenta en 0.0124 unidades (es decir, $1.24 / 100$), CP.

Interpretación de Parámetros Estimados

• $\beta_0$ (Intercepto): Representa el valor esperado de la variable dependiente ($Y$) cuando todas las variables explicativas son iguales a cero. Por ejemplo: "Cuando el precio (variable independiente) es 0, se venden 5 entradas (variable dependiente)".
• $\beta_1$ (Pendiente): Indica el cambio esperado en la variable dependiente por cada aumento de una unidad en la variable explicativa correspondiente, manteniendo las demás constantes (ceteris paribus). Por ejemplo: "Por cada aumento de una unidad de tiendas (variable explicativa), se produce un aumento o disminución del ingreso (variable dependiente) de 7828 millones, CP".

Conclusión del Test de Hipótesis

Al realizar pruebas de hipótesis (como la prueba $t$ o $F$):

• Se rechaza $H_0$: Existe evidencia estadística significativa para afirmar que el coeficiente es diferente de cero.
• No existe evidencia que permita rechazar $H_0$: No hay suficiente evidencia para afirmar que el coeficiente es diferente de cero, utilizando un nivel de significancia $\alpha$.

Nota sobre Pruebas: Se debe distinguir entre la prueba $t$ (que evalúa la significancia de una variable individual) y la prueba $F$ (que evalúa la significancia conjunta del modelo).

Evaluación del Ajuste del Modelo ($R^2$)

Es fundamental examinar el valor del Coeficiente de Determinación ($R^2$), ya que este porcentaje indica qué tan bien el modelo explica la variabilidad total de la variable dependiente a través de las variables independientes. Un $R^2$ adecuado sugiere que el modelo proporciona predicciones razonables y que las relaciones encontradas tienen sentido económico.

Fórmula: $$R^2 = 1 - \frac{\text{SC}_{\text{Error}}}{\text{SC}_{\text{Total}}}$$

El $R^2$ mide el porcentaje de la varianza de la variable dependiente que es explicado por las variables independientes.

Término de Error ($u$)

El término de error ($u$) captura el efecto de todas las variables omitidas que afectan a la variable dependiente ($Y$) y que no han sido incluidas explícitamente en el modelo.

Supuestos Fundamentales en Regresión

Supuestos del Modelo Lineal Restringido (MRL)

Los supuestos básicos para la validez teórica del modelo son:

1. Linealidad en los parámetros.
2. El valor esperado del error es cero: $E(u_i) = 0$.
3. Exogeneidad estricta: $E(u_i | x_i) = 0$.
4. Condición Ceteris Paribus (implícita en la interpretación de coeficientes).

Supuestos del Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

Para que los estimadores $\hat{\beta}$ sean los Mejores Estimadores Lineales Insesgados (MELI o BLUE):

1. Existe un modelo poblacional lineal en los parámetros.
2. El muestreo es aleatorio.
3. Exogeneidad estricta: $E(u_i | x_1, x_2, \dots, x_k) = 0$.
4. Las observaciones de la variable dependiente son independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.).
5. Homocedasticidad: La varianza del error es constante: $V(u_i | x_i) = \sigma^2$.

Propiedades de los Estimadores MCO (Bajo Supuestos MCO)

Los estimadores obtenidos por MCO son MELI si se cumplen:

1. Modelo lineal en los parámetros.
2. Muestreo aleatorio.
3. $E(u | x_1, x_2, \dots, x_k) = 0$.
4. No existe colinealidad perfecta entre las variables explicativas.
5. Homocedasticidad: $V(u_i | x_1, x_2, \dots, x_k) = \sigma^2$.

Supuestos para Inferencia Estadística (Test de Hipótesis)

Para realizar pruebas de hipótesis válidas (como la prueba $t$ o $F$), se requieren los supuestos MCO más el supuesto de normalidad:

1. Linealidad del modelo.
2. Muestreo aleatorio.
3. $E(u | x) = 0$.
4. No existe colinealidad perfecta.
5. Homocedasticidad.
6. Normalidad del error: El error es independiente de las variables explicativas y sigue una distribución normal: $u \sim N(0, \sigma^2)$.

Variables Dummy

Las Variables Dummy se utilizan para incorporar información cualitativa (categórica) como variables independientes en el modelo de regresión.