Introducción a la Probabilidad: Definiciones, Propiedades y Métodos

Definiciones Básicas en Probabilidad

En el estudio de la probabilidad, es fundamental comprender una serie de conceptos clave:

• Experimentos Deterministas: Son aquellos cuyos resultados podemos predecir de antemano con total certeza.
• Experimentos Aleatorios: Son aquellos cuyos resultados dependen del azar y no pueden predecirse con exactitud antes de su realización.
• Espacio Muestral (E): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
• Suceso Elemental: Es un suceso formado por un único resultado del experimento.
• Suceso Compuesto: Es un suceso formado por dos o más sucesos elementales.
• Suceso Imposible (Ø): Es aquel que no puede ocurrir nunca. Su probabilidad es 0.
• Suceso Seguro (E): Es aquel que contiene todos los resultados posibles del experimento. Coincide con el espacio muestral (E) y su probabilidad es 1.
• Suceso Contrario o Complementario (A'): Es el suceso formado por todos los elementos del espacio muestral (E) que no pertenecen al suceso A. Se denota por A' o Aᶜ.

Operaciones con Sucesos

Podemos realizar diversas operaciones con los sucesos:

• Unión (A ∪ B): Es el conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, a B, o a ambos, sin repetir ninguno.
• Intersección (A ∩ B): Es el conjunto formado por los sucesos elementales que son comunes a A y a B (es decir, los que se repiten en ambos).
• Sucesos Incompatibles: Dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo. Esto significa que su intersección es el suceso imposible (A ∩ B = Ø).

Propiedades de la Probabilidad

La probabilidad cumple con las siguientes propiedades fundamentales:

• La probabilidad del suceso seguro es 1: P(E) = 1.
• La probabilidad del suceso imposible es 0: P(Ø) = 0.
• Para cualquier suceso A, su probabilidad está entre 0 y 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Regla de la Adición para la Unión de Sucesos:
  • Para dos sucesos cualesquiera A y B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
  • Si A y B son sucesos incompatibles (es decir, A ∩ B = Ø), entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Probabilidad del Suceso Complementario: La probabilidad del suceso contrario de A es: P(A') = 1 - P(A).
• Sucesos Equiprobables: Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir.
• Regla de Laplace: Si al realizar un experimento aleatorio todos los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso A se calcula como:

  P(A) = (Número de casos favorables al suceso A) / (Número total de casos posibles)

Experimentos Compuestos

Cuando se realizan varios experimentos aleatorios de forma consecutiva, hablamos de experimentos compuestos. Su clasificación depende de la influencia de un resultado sobre el siguiente:

• Experimento Independiente: Ocurre cuando el resultado de un experimento no influye en el resultado de otro.
• Experimento Dependiente: Ocurre cuando el resultado de un experimento sí influye en el resultado de otro.

Para la probabilidad de la intersección de sucesos en experimentos compuestos:

• Si A y B son sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• Si A y B son sucesos dependientes: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A), donde P(B|A) es la probabilidad de B dado que A ha ocurrido.

Métodos de Conteo y Representación

Para organizar y calcular probabilidades en situaciones complejas, se utilizan diferentes herramientas:

Tablas de Contingencia

Se utilizan cuando se dispone de dos características o variables (con sus respectivos contrarios o categorías) y se desea analizar la relación entre ellas.

Ejemplo: Se sortea un viaje a Roma entre 120 clientes. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Esta información se organizaría en una tabla de contingencia para calcular probabilidades como la de ser hombre soltero, etc.

Diagrama en Árbol

Se utiliza cuando se tienen secuencias de experimentos o eventos, y se conocen las probabilidades de cada rama. Las probabilidades se colocan sobre las ramas, y la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo (un "racimo") debe ser igual a 1.

Ejemplo: La probabilidad de que un estudiante apruebe el primer examen de una oposición es del 52%. Si aprueba el primer examen, la probabilidad de que pase al segundo (es decir, apruebe el segundo examen dado que aprobó el primero) es del 65%.