Introducción a la Probabilidad: Espacio Muestral, Eventos y Teoremas Fundamentales

Espacio Muestral y Eventos

Espacio Muestral (S)

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio (punto muestral). Por ejemplo, al lanzar un dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Tipos de espacio muestral:

• Discreto: Consiste en un número finito o infinitamente numerable de resultados posibles.
• Continuo: Si contiene al menos un intervalo de números reales.

Al conjunto vacío se le llama suceso imposible.

Evento o Sucesos (E)

Un evento o suceso es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el espacio muestral (S). Por ejemplo, al lanzar un dado, el evento A = "obtener un número par" sería A = {2, 4, 6}.

Tipos de eventos:

• Simple: Si consiste solamente de un punto muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado, "obtener un número mayor que 5".
• Compuesto: Contiene más de un punto muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado, "obtener un número múltiplo de 3".

Relaciones entre Eventos

• Complemento: El complemento de un evento A respecto de S es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en A (A'). Se cumple que A ∩ A' = ∅ y A U A' = S. (Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, pero no necesariamente lo inverso).
• Compatibles: Dos sucesos son compatibles cuando pueden presentarse conjuntamente o simultáneamente.
• Mutuamente Excluyentes (Disjuntos): Dos sucesos son mutuamente excluyentes cuando no se pueden presentar simultáneamente (A ∩ B = ∅).
• Opuestos: Dos sucesos son opuestos cuando son mutuamente excluyentes y su unión da como resultado el espacio muestral (A U B = S).

Probabilidad Condicional y Teoremas

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A cuando se sabe que ya ocurrió un evento B. Se denota como P(A/B) y se lee como "la probabilidad de A sabiendo que B ocurrió" o "la probabilidad de A dado B".

Teorema del Producto (para calcular la intersección)

Sea (S; |B = P(S); P) un espacio de probabilidad y sean A y B dos sucesos incluidos en S, con P(A) > 0 y P(B) > 0. Podemos decir que la P(A ∩ B) = P(A/B) * P(B), que es igual a P(B/A) * P(A).

Sucesos Independientes

Dos sucesos compatibles son independientes cuando la presencia de uno de ellos no afecta ni modifica nuestra expectativa respecto a la ocurrencia del otro. En este caso, P(A/B) = P(A).

Teorema de la Probabilidad Total

Sea un espacio de probabilidad (S; |B = P(S); P), con el suceso (A ⊂ S), donde A puede presentarse conjuntamente con algún evento B_i, con i = 1, 2, ..., k. Los B_i constituyen una partición de S.

Hipótesis:

Teorema de Bayes (para calcular la probabilidad condicional inversa)

Dadas las mismas hipótesis del teorema de la probabilidad total, el teorema de Bayes responde a la siguiente pregunta: si ocurrió el suceso A, ¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido conjuntamente con el suceso B_k?