Inversa Generalizada, Proyección Ortogonal y Propiedades de Matrices Hermíticas

Inversa Generalizada y Soluciones de Mínimos Cuadrados

La inversa generalizada de una matriz A (denotada como A⁺) permite encontrar la solución de mínimos cuadrados de norma mínima, x*, para un sistema de ecuaciones lineales Ax = b. Esta solución se expresa como: x* = A⁺b.

Casos para el Cálculo de la Inversa Generalizada

• Caso 1: r(A) = n (rango de A igual al número de columnas)
  La solución de mínimos cuadrados es: x* = (A^TA)^-1A^Tb.
  Por lo tanto, la inversa generalizada es: A⁺ = (A^TA)^-1A^T.
• Caso 2: r(A) = m (rango de A igual al número de filas)
  La inversa generalizada es: A⁺ = A^T(AA^T)^-1.
• Caso 3: r(A) = k, con k < n y k < m (rango de A menor que el número de filas y columnas)
  La inversa generalizada se calcula mediante una descomposición de la matriz A en factores B y C, donde A = BC.
  Entonces: A⁺ = C^T(CC^T)^-1(B^TB)^-1B^T.

Matriz de Proyección Ortogonal

La matriz A⁺ también se utiliza para calcular la proyección ortogonal de un vector b sobre el espacio columna (imagen) de A, denotado como R(A).

Cualquier solución de mínimos cuadrados, x₀, de Ax = b satisface: Ax₀ = Pi_b, donde Pi_b es la proyección ortogonal de b sobre R(A).

Como x* también es una solución de mínimos cuadrados, se tiene: Ax* = Pi_b. Y dado que x* = A⁺b, entonces: Pi_b = AA⁺b.

La matriz Q = AA⁺ se denomina matriz de proyección ortogonal sobre R(A). Para obtener la proyección ortogonal de b sobre R(A), se calcula: Pi_b = Qb.

Valores y Vectores Propios de Matrices Hermíticas

Valores Propios Reales

Los valores propios de una matriz hermítica (A^H = A) son siempre números reales.

Demostración:

1. Sea λ un valor propio de A y x su vector propio asociado (x ≠ 0). Entonces: Ax = λx.
2. Multiplicando ambos lados por x^H: x^HAx = λx^Hx.
3. Tanto x^HAx como x^Hx son números reales (el segundo es distinto de cero).
4. Despejando λ: λ = (x^HAx) / (x^Hx), que es un cociente de números reales, por lo tanto, real.

Vectores Propios Ortogonales

Vectores propios asociados a valores propios distintos de una matriz hermítica son ortogonales entre sí.

Demostración:

1. Sean λ y β valores propios distintos de la matriz hermítica A (λ ≠ β).
2. Sean x e y sus vectores propios asociados: Ax = λx y Ay = βy.
3. Multiplicando la primera ecuación por y^H: y^HAx = λy^Hx.
4. Multiplicando la segunda ecuación por x^H: x^HAy = βx^Hy.
5. Tomando la transpuesta hermitica de la ecuación anterior: y^HA^Hx = β*y^Hx. Como A es hermitica y^HAx = β*y^Hx
6. Restando las ecuaciones y^HAx = λy^Hx y y^HAx = βy^Hx, se obtiene: (λ - β)y^Hx = 0.
7. Como λ ≠ β, entonces y^Hx = 0, lo que implica que x e y son ortogonales.