Isometrías del Plano: Transformaciones Geométricas Esenciales

Una isometría es una transformación del plano T:R² → R² que conserva las distancias. Es decir, si A y B son dos puntos del plano y A' y B' son sus imágenes, se verifica que: d(A,B) = d(A',B').

Propiedades Fundamentales de las Isometrías

Toda isometría transforma:

• Un ángulo en otro congruente.
• Rectas paralelas en rectas paralelas.
• Rectas perpendiculares en rectas perpendiculares.
• Un triángulo en otro congruente (criterio LLL).
• Un polígono en otro congruente.

Las isometrías se clasifican principalmente en:

• Traslaciones
• Simetrías
• Giros

Tipos de Isometrías

Traslaciones

Un vector AB es un segmento orientado, es decir, sus extremos se dan en un orden específico. Al primer punto se le llama origen del vector y al segundo, extremo.

En un vector se distinguen:

• Su módulo: lo que mide el segmento.
• Su dirección: la recta que contiene al segmento (AB).
• Su sentido: según el punto considerado como origen y como extremo.

Un vector libre es un conjunto (clase de equivalencia) formado por todos los vectores equipolentes entre sí. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Definición de Traslación

Una traslación de vector v es una transformación del plano que a cada punto A le aplica el vector v para generar su transformado A'.

Propiedades de las Traslaciones

• No hay puntos dobles.
• Las rectas dobles son aquellas paralelas al vector de traslación.
• Si r es una recta, su transformada T(r) es paralela a r.
• El producto de una traslación de vector v por otra de vector u es una nueva traslación de vector u+v.
• Las traslaciones son movimientos directos, es decir, conservan la orientación de las figuras.

Simetrías

Una simetría axial o de reflexión de eje la recta e es una aplicación que a cada punto P del plano le asocia otro punto P' tal que la recta e es la mediatriz del segmento (PP').

Propiedades de las Simetrías Axiales

• Puntos dobles: los puntos que pertenecen al eje e.
• El eje e es una recta doble.
• Las rectas perpendiculares al eje son rectas dobles.
• Si r es una recta, su transformada es paralela a r si y solo si r es paralela al eje e.
• Si r no es paralela al eje e, entonces r y su transformada r' se cortan en un punto M del eje, siendo este la bisectriz del ángulo determinado por ambas rectas.
• Las simetrías son movimientos inversos, es decir, cambian la orientación de las figuras.

Giros

Un giro de centro en un punto dado O y ángulo α (orientado) es una transformación del plano que a cada punto P le asocia otro punto P' verificando que: d(O,P) = d(O,P').

Propiedades de los Giros

• El único punto doble de un giro es el centro de giro O.
• Un giro no tiene rectas dobles.
• Toda circunferencia con centro O es doble.
• Un giro es un movimiento directo, es decir, conserva la orientación de las figuras.