Leyes de Kepler y Conservación de la Energía en Sistemas Gravitatorios

Leyes de Kepler y su Relación con la Conservación de la Energía

Leyes de Kepler: Descripción del Movimiento Planetario

Las leyes de Kepler son enunciados que describen matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Estas leyes también se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

Primera Ley de Kepler: Ley de las Órbitas

Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

Segunda Ley de Kepler: Ley de las Áreas

El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto significa que cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio), su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular (L) es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol:

L = m·r₁·v₁ = m·r₂·v₂

Tercera Ley de Kepler: Ley de los Periodos

Para cualquier planeta, el cuadrado de su periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol, T) es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica (la distancia media del planeta al Sol, L):

T² / L³ = K = constante

El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de gravitación universal. La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares es:

• La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:
• (G * M * m) / r² = m * (v² / r)

Campos de Fuerza Conservativos y Energía Potencial Gravitatoria

Campos de Fuerza Conservativos

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita de un planeta) es nulo.

Energía Potencial Gravitatoria

La energía potencial gravitatoria es la energía asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa y la fuerza de gravedad.

• Para los casos en los que la variación de gravedad es insignificante, se aplica la fórmula:
• E_p = m·g·h
• Sin embargo, si la distancia (la variación de altitud) es importante, y por tanto la variación de la aceleración de la gravedad es considerable, se aplica la fórmula general:
• E_p = -G·(Mm / r)
• Donde G es la constante universal de gravitación, M la masa de la Tierra (o planeta concreto) y m la masa del objeto.

Potencial Gravitatorio

El potencial gravitatorio en un punto del campo gravitacional es una cantidad escalar que se define como el trabajo que una fuerza debe realizar para transportar un cuerpo a velocidad constante. Para una masa puntual:

V = -G * m / r

Donde G es la constante de gravitación universal, m la masa y r la distancia del punto de interés a la masa puntual.

Principio de Conservación de la Energía

El principio de conservación de la energía establece que la energía mecánica total (energía potencial más energía cinética) dentro de un sistema gravitatorio será constante, ya que la energía no se destruye, sino que se transforma.