Leyes de Kepler y Ley de Gravitación Universal: Fundamentos de la Mecánica Celeste

Leyes de Kepler

1ª Ley (Ley de las Órbitas)

Los planetas describen órbitas planas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

2ª Ley (Ley de las Áreas)

El vector de posición con respecto al Sol de un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que la velocidad lineal del planeta es mayor cuanto más cerca se encuentra del Sol.

3ª Ley (Ley de los Períodos)

Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales al cubo de sus distancias medias al Sol.

Ley de Gravitación Universal

Fue enunciada por Newton en el siglo XVII y permitió explicar todos los efectos gravitatorios conocidos en su época. La ley dice que: “Todo cuerpo del universo atrae a cualquier otro cuerpo con una fuerza central que es proporcional a la masa de ambos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”.

Matemáticamente se formula así:

``` 𝑭⃗ = −𝑮 𝒎𝟏𝒎𝟐 𝒓 𝟐 𝒖⃗ 𝒓 ```

donde 𝑭⃗ es la fuerza gravitatoria entre los dos cuerpos de masas 𝒎𝟏 y 𝒎𝟐, 𝒓 es la distancia que los separa, y 𝒖⃗ 𝒓 es el vector unitario que va del cuerpo que ejerce la fuerza al que la sufre. El signo menos indica que la fuerza es atractiva. G es una constante denominada “constante de la gravitación universal” que se mide experimentalmente y cuyo valor es 6.67·10-11 N·m2 /kg2.

Energía Potencial Gravitatoria

La fuerza gravitatoria, por ser conservativa, tiene asociada una función energía potencial gravitatoria, 𝐸𝑝, tal que el trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos A y B es igual a la disminución de esta energía potencial. Así se deduce que la energía potencial gravitatoria de una partícula de masa 𝑚1 a una distancia r de otra masa 𝑚2 es igual a:

``` 𝐸𝑝 = −𝐺 𝑚1𝑚2 𝑟 ```

donde se toma la energía potencial en el infinito igual a cero. Como se trata de una energía, es una magnitud escalar cuya unidad en el SI es el Julio.

Debido a la acción de la fuerza gravitatoria, los cuerpos tienden a caer espontáneamente hacia las regiones de menor energía potencial.

Para un sistema formado por más de dos masas, la energía potencial gravitatoria del sistema es la suma de las energías potenciales de todos los pares distintos de masas que se pueden formar.

Energía Potencial en las Cercanías de la Superficie Terrestre

La fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo de masa m es su peso: 𝐹 = −𝑚𝑔 𝑗. Considerando constante el valor de g en las proximidades de la Tierra, el trabajo realizado por la fuerza peso cuando el cuerpo se desplaza verticalmente desde el punto A al B resulta:

``` 𝑊𝐴𝐵 = 𝑚 𝑔 𝑦𝐴 − 𝑚 𝑔 𝑦𝐵 ```

Por tanto, la energía potencial en un punto a una altura h es:

``` 𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ ```

donde hemos elegido el origen de energía en h = 0.