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Movimiento Armónico Simple: Conceptos y Ecuaciones
Un movimiento armónico simple (m.a.s.) es un movimiento rectilíneo, periódico, de vaivén en torno a un punto de equilibrio. Ejemplos comunes incluyen el movimiento de un péndulo o la oscilación vertical de un objeto en el agua.
Un ejemplo importante de m.a.s. es el de un muelle oscilando (sin rozamiento), tanto en un eje vertical como horizontal.
Ecuación del Movimiento
La ecuación que representa este movimiento es: x = A × sen(ωt + φ0). Donde:
- x es la elongación (m), o la posición del objeto.
- A es la elongación máxima o la amplitud (m).
- ω es la frecuencia angular (rad/s).
- t representa el tiempo (s).
- φ0 es la fase inicial (rad).
Despreciando efectos gravitatorios y rozamientos, el movimiento será perpetuo con un periodo T que cumple: ω = 2π/T.
A ω, además de frecuencia angular, también se le llama pulsación. La frecuencia del movimiento (las oscilaciones por segundo) se calcula: f = 1/T.
Ley de Hooke y Fuerza Recuperadora
La fuerza recuperadora o elástica que provoca este movimiento cumple la expresión conocida como Ley de Hooke: F = -K × x. Donde K es la constante recuperadora del muelle.
Velocidad y Aceleración
El movimiento armónico simple (m.a.s.) se puede representar en función del tiempo: x = A sen(ωt + φ0). A partir de la ecuación del m.a.s. y la definición de velocidad, se puede deducir la velocidad del objeto:
v = dx/dt = d(A sen(ωt + φ0))/dt = Aω cos(ωt + φ0)
De esta ecuación se obtiene la velocidad máxima, que se produce en el punto de equilibrio del movimiento.
De la misma manera, la aceleración se calcula como:
a = dv/dt = d(Aω cos(ωt + φ0))/dt = -Aω2 sen(ωt + φ0)
En este caso, la aceleración máxima se produce en los extremos del movimiento.
También se deduce: a = -ω2 × x. De esta última expresión se puede deducir una importante expresión para la constante recuperadora, aplicando la 2ª ley de Newton y la ley de Hooke:
F = -Kx = ma = m(-ω2x)
De donde: K = mω2
Es decir, conociendo el valor de la constante recuperadora (K) y la masa del objeto (m), se puede deducir la pulsación (ω) y, por lo tanto, el periodo (T) del movimiento armónico.