Matemáticas: conceptos y fórmulas

Rangos:

Sistema compatible determinado:

Única solución.

Sistema compatible indeterminado:

Infinitas soluciones (se utilizan parámetros para resolverlos).

Sistema incompatible:

Sin solución.

- Rg(A) = Rg(A´) = nº incognitas => Compatible Determinado.

- Rg(A) = Rg(A´) < nº incognitas => Compatible Indeterminado.

- Rg(A) diferente a Rg(A´) => Incompatible.

Problemas de programación lineal:

1. Sacar incógnitas.
2. Sacar función objetivo (casi siempre es el dinero).
3. Restricciones: son inecuaciones, x + 2y <= total, hay varias restricciones. Juntar algodón con algodón. Siempre hay dos restricciones que son: x >= 0 e y >= 0.
4. Dibujar y sacar los vértices.
5. Hallar el área con los sistemas.
6. Sustituir en la función para saber si es máximo o mínimo.

Optimización:

1. Se plantea la función a maximizar o minimizar.
2. Se plantea la ecuación que relaciona las variables.
3. Se despeja una variable y se sustituye en la función.
4. Se deriva la función.
5. Se iguala a 0.

Límites

Infinito - infinito:

Se hace el conjugado. En el denominador se quedan los de mayor grado.

1 elevado a infinito:

Indeterminación del tipo e.

Infinito x 0:

Se pasa a la forma infinito entre infinito y se aplica la regla de L'Hôpital.

Tipo 0 elevado a 0:

Se pasa a Ln = Ln y luego a lim(Ln) = lim(función derivada), y luego se pasa a infinito entre infinito y se aplica la regla de L'Hôpital. Al final se añade una e y se va la e con el Ln y te queda y = e elevado a 0 = 1.

Infinito elevado a 0:

Primero se pasa a límites y después se deja límites y lo de dentro Ln. lim(y) = lim() --- Lim(Lny) = lim(derivada), se hace la parte de la derecha y se sustituye por infinito y se aplica la regla de L'Hôpital.

Asíntotas oblicuas:

Si hay horizontal no hay oblicua.

M = lim de x = infinito f(x) entre x.

N = lim x = infinito f(x) - m.x.

Continuidad y derivabilidad:

Se hace la continuidad y si en esos puntos no es continua = no es derivable. Puede ser continua y no derivable.

Gráfica de funciones:

Dominio:

• Radicales: lo de dentro >= 0.
• Polinomio: todo R.
• Logarítmicas: lo de dentro > 0.
• Racionales: igualo el denominador a 0 (Dom f(x) = R - [2]).
• Exponenciales: todo R.

Simetría:

Si es f(x) pongo f(-x); si el resultado es el mismo que la función es par, si cambia es impar.

Puntos de corte con ejes:

x = 0, y = 0.

Signo de la función:

Igualo a 0 la función, y hallo los puntos y miro el signo; como en las inecuaciones (si la función está por encima o por debajo del eje x). Decir de dónde a dónde es positiva y negativa.

Asíntotas:

• Vertical: x tiende a cualquier número y te tiene que dar infinito.
• Horizontal: la x tiende a infinito y te tiene que dar un número.
• Oblicua:
  • M = lim de f(x) entre x, cuando x tiende a +- infinito.
  • N: lim de [f(x) - m.x], cuando x tiende a +- infinito.

Monotonía (máximos y mínimos):

1. Derivo la función (derivada primera).
2. Igualo a 0 la derivada.
3. Saco los puntos de la ecuación.
4. Miro el signo en cada intervalo y digo de dónde a dónde crece y decrece, y digo el máximo o mínimo.

Curvatura (cóncava o convexa):

1. Hacemos la segunda derivada.
2. Igualo a 0 la segunda derivada.
3. Saco los puntos y los pongo en la recta y digo de dónde a dónde es cóncava (U) y convexa (n). Donde cambia la curva se llaman puntos de inflexión.

Recta tangente:

• m: se saca derivando la función y sustituyendo el punto x en la derivada.
• La fórmula es: y - y₀ = m(x - x₀).
• Y₀ se calcula sustituyendo el punto x en la función.

Derivada

de seno = cos, cos = -sen.

Integral

de cos = sen, sen = -cos.

Probabilidad:

P(A U B) = P(A) + P(B), P(A contrario) = 1 - P(A), P(A U B) = P(A) + P(B) - (A ∩ B).

Regla de Laplace:

nº de casos favorables entre nº de casos posibles.

P(A ∩ B) = P(A) . P(B).

Función de distribución:

• Media (M): Xi . Pi
• Varianza (σ²): Xi al cuadrado por Pi - Media al cuadrado
• Desviación típica (σ): Xi al cuadrado por Pi - M al cuadrado (todo a la raíz cuadrada)

Distribución binomial: B(n, p):

• N = número de pruebas
• P = probabilidad de éxito
• k = número de éxitos
• Q = 1 - p

Fórmula = P(x = k) = (n y debajo k) [Se calcula: n! partido de k! por (n - k)! por P elevado a k por Q elevado a n - k.

• Media: n por p
• Varianza (σ²): n por p por q
• Desviación típica (σ): n . p . q todo a la raíz cuadrada.