Matemáticas: Ecuaciones de Circunferencias y Cónicas - Resolución de Problemas de Tangentes
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Problema 1: Circunferencias Tangentes a los Ejes y que Pasan por un Punto
Escribe la ecuación de las posibles circunferencias que cumplen a la vez que son tangentes al eje OX, al eje OY y que pasen por el punto (4,2).
Proceso de Resolución:
Se recomienda realizar un esquema donde se visualice el centro y el punto dado. Dado que la circunferencia es tangente a ambos ejes (OX y OY), su centro tendrá coordenadas (±r, ±r), donde r es el radio. Por lo tanto, las coordenadas del centro (h, k) y el radio (r) están relacionadas por |h| = |k| = r.
Se sustituyen las coordenadas del punto (4,2) en la ecuación general de la circunferencia, expresando las coordenadas del centro (h, k) y el radio (r) en función de una única incógnita (por ejemplo, r).
Se resuelve la ecuación resultante para hallar el valor o valores de r. Finalmente, se escriben las ecuaciones de las circunferencias correspondientes, sustituyendo los valores de r encontrados.
Problema 2: Rectas Tangentes a una Circunferencia y Paralelas a otra Recta
Dada la circunferencia x2 + y2 - 10x + 6y + 18 = 0, halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia y paralelas a 6x - 8y + 5 = 0.
Proceso de Resolución:
Se recomienda realizar un esquema de la circunferencia, la recta dada y las dos rectas tangentes buscadas.
A continuación, se completa el cuadrado para la ecuación de la circunferencia, agrupando los términos en 'x' y en 'y' para transformarla a su forma canónica (x-h)² + (y-k)² = r². Esto permite identificar el centro (h, k) y el radio (r) de la circunferencia.
Una vez obtenidos el centro (h, k) y el radio (r), se utiliza la fórmula de la distancia de un punto a una recta. Las rectas tangentes son paralelas a 6x - 8y + 5 = 0, por lo que su ecuación general será 6x - 8y + C = 0. La distancia del centro (h, k) a estas rectas debe ser igual al radio (r). Esto permitirá hallar el valor o valores de C.
Finalmente, se sustituyen los valores de C encontrados en la ecuación general 6x - 8y + C = 0 para obtener las ecuaciones de las dos rectas tangentes.
Problema 3: Identificación y Transformación de Cónicas
a) Dada la cónica 9x2 + 54 + y2 - 8y + 16 = 0, di de qué tipo se trata y transfórmala hasta que quede de la misma forma que la del apartado b.
Proceso de Resolución:
Para identificar el tipo de cónica y transformarla a su forma canónica, se debe completar el cuadrado para los términos en 'x' y en 'y'. Si los términos cuadráticos (x² o y²) tienen coeficientes distintos de 1, es necesario factorizar dicho coeficiente antes de completar el cuadrado.
El objetivo es que la ecuación quede en su forma canónica, donde el término independiente del lado derecho sea 1 (para elipses e hipérbolas) o la forma estándar para parábolas.
b) Dada la siguiente cónica, dibújala con todos sus elementos.
(Nota: La ecuación de la cónica para este apartado no fue proporcionada en el documento original. Se asume que se refiere a una ecuación en forma canónica, como por ejemplo: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 para una elipse o hipérbola, o (x-h)² = 4p(y-k) para una parábola.)
Proceso de Resolución:
A partir de la ecuación canónica de la cónica, se identifican las coordenadas del centro (h, k), que son los valores que acompañan a 'x' y 'y' con el signo opuesto.
Se determinan los valores de 'a' y 'b' a partir de los denominadores de los términos cuadráticos (en el caso de elipses e hipérbolas, 'a' es el semieje mayor). Posteriormente, se aplican las fórmulas específicas para cada tipo de cónica para calcular 'c' (distancia del centro al foco), la excentricidad (e), y las coordenadas de los focos, vértices y, si aplica, las ecuaciones de las asíntotas o directrices. Con todos estos elementos, se procede a dibujar la cónica.