Matemáticas Financieras Aplicadas: Ejercicios Prácticos de Inversión y Deuda

Problemas Financieros y Conceptos Clave

Cálculo de Cuotas y Rentas

Problema 1: Financiación de un Artículo

Un comercio ofrece un artículo al contado por 720€ o, alternativamente, una entrega inicial de 93€ en el momento de la compra y posteriormente 18 mensualidades pospagables. Averigua la cuantía de cada una de dichas mensualidades, aplicando una tasa de interés del 14.4% anual.

• Cálculo de la tasa de interés mensual (i):
  i = (1 + 0.144)^(1/12) - 1 = 0.011273985
• Capital a financiar:
  720€ - 93€ = 627€
• Cálculo de la mensualidad (C):
  Utilizando la fórmula del valor actual de una anualidad ordinaria: VAN = C * [1 - (1 + i)^(-n)] / i
627 = C * [1 - (1.011273985)^(-18)] / 0.011273985
627 = C * 16.209...
  Por lo tanto, la cuantía de cada mensualidad es: C = 38.68€

Problema 2: Plan de Pensiones Individual

La señorita Ana, de 42 años, suscribe un plan de pensiones individual que se compromete a entregar al comienzo de cada uno de los próximos meses 100€ hasta cumplir los 65 años. ¿Qué renta mensual percibirá sabiendo que la tasa de interés es del 4% anual para toda la operación financiera y que la esperanza de vida de las mujeres es de 78 años?

• Cálculo de la tasa de interés mensual (i):
  i = (1.04)^(1/12) - 1 = 0.00327373978
• Periodo de aportación:
  Desde los 42 hasta los 65 años: (65 - 42) * 12 = 23 * 12 = 276 meses
• Valor futuro de las aportaciones (VF) al cumplir los 65 años:
  Utilizando la fórmula del valor futuro de una anualidad anticipada: VF = C * (1 + i) * [(1 + i)^n - 1] / i
VF = 100 * (1.00327...) * [(1.00327...)^276 - 1] / 0.00327... = 44887.82€
• Periodo de percepción de renta:
  Desde los 65 hasta los 78 años: (78 - 65) * 12 = 13 * 12 = 156 meses
• Cálculo de la renta mensual (C_renta) a percibir:
  El valor futuro de las aportaciones (44887.82€) se convierte en el valor actual de la renta a percibir. Utilizando la fórmula del valor actual de una anualidad ordinaria:
  VA = C_renta * [1 - (1 + i)^(-n)] / i
44887.82 = C_renta * [1 - (1.00327...)^(-156)] / 0.00327...
44887.82 = C_renta * 122.01...
  Por lo tanto, la renta mensual percibida será: C_renta = 367.90€

T5: Conceptos Avanzados de Finanzas

Equivalencia Financiera y Vencimientos

Problema 3: Compra de Maquinaria y Ofertas Equivalentes

Un empresario desea comprar una máquina y recibe dos ofertas que son financieramente equivalentes al 6% anual compuesto.

1. Oferta A: Pago de 7500€, 20000€ y 'x' al cabo de 4, 5 y 7 años, respectivamente.
2. Oferta B: Pago de 40000€ al cabo de 6 años.

Averigua el importe de 'x'.

• Valor actual de la Oferta B (VA_B):
  VA_B = 40000 * (1.06)^(-6) = 28198.38€
• Valor actual de los pagos conocidos de la Oferta A:
  VA_A_conocidos = 7500 * (1.06)^(-4) + 20000 * (1.06)^(-5)
VA_A_conocidos = 5939.65€ + 14945.16€ = 20884.81€
• Cálculo de 'x' (manteniendo el resultado original):
  Dado que las ofertas son financieramente equivalentes, sus valores actuales deben ser iguales:
  VA_A = VA_B
VA_A_conocidos + x * (1.06)^(-7) = VA_B
20884.81 + x * (1.06)^(-7) = 28198.38
x * (1.06)^(-7) = 28198.38 - 20884.81 = 7313.57
x = 7313.57 / (1.06)^(-7)
  Según el cálculo original, el importe de x = 10914.27€

Problema 4: Determinación del Capital

¿Cuál será el capital?

• 227.25 * 25 = 5681.25
• 260.22 * 35
• 89.64 * 90
• df = 360 / i
• C'k = df + Suma de números + Suma de días

Problema 5: Vencimiento Común de un Capital

¿En qué momento del tiempo un capital de 576.18€? (Vencimiento común)

• 227.25 * 25
• df = 360 / i
• n'k = df * (576.18 - Suma de números) + Suma de días / 576.18 = 30

Problema 6: Vencimiento Medio de un Pago

¿Cuándo habrá que efectuar el pago, si se sustituye por 13.000€? (Vencimiento medio)

• Multiplicación
• n'k = Suma final / Suma de números = 53.85

Problema 7: Relación entre Capitales y Vencimientos

Sabemos que la cuantía de un capital que vence dentro de 6 días es el doble que la de otro capital que vence dentro de 12 días, y este el triple del tercero que vence dentro de 20 días.

• Días de vencimiento: n1 = 6; n2 = 12; n3 = 20
• Relación de capitales: Si C3 = x, entonces C2 = 3x y C1 = 2 * C2 = 2 * 3x = 6x
• Producto de días por capital (nC):
  nC1 = n1 * C1 = 6 * 6x = 36x
nC2 = n2 * C2 = 12 * 3x = 36x
nC3 = n3 * C3 = 20 * x = 20x
• Cálculo del vencimiento medio (n'k):
  n'k = (Suma de nC) / (Suma de C) = (36x + 36x + 20x) / (6x + 3x + x) = 92x / 10x = 9.2 días
  Según el resultado original: n'k = 9 días

Problema 8: Capital de Letras Pendientes

Una empresa tiene letras pendientes por 6000€ cada uno de los primeros de mes de cada año. El 2 de enero... ¿Cuánto ascenderá el capital?

• Suma de pagos: 6000 * 1 + 6000 * 2 + ... + 6000 * 11 = 6000 * (1+2+...+11) = 6000 * 66 = 396000€ (Esto parece ser la suma de los productos de capital por número de mes, no el capital total).
• Cálculo del capital (C'k):
  C'k = 66000 - (0.1 / 12) * 396000 / (1 - (0.11 - 12) * 0)
  Simplificando la expresión: C'k = 66000 - (0.1 / 12) * 396000 / 1
C'k = 66000 - 3300 = 62700€
  El capital ascenderá a: 62700€

Fórmulas y Conceptos Adicionales

Fórmula: Interés

Multiplicar // Días = df * (Capital único - Suma de números) + Suma total / Capital único // Se despeja df

Fórmula: Comprobar Capitales

Co = Ch * (1 + i)^(-n)

Fórmula: Calcular Capital Equivalente

im = (1 + i)^(1/12) - 1
Ck = Ch * (1 + im)^(meses del vencimiento - mes) + ...

Fórmula: Equivalencia de un Capital en el Tiempo

(1 + i)^(-n) * Ch // ... // n'k = log(Capital sustituido) - log(Suma nCh) / log(1 + i)

Fórmula: Tanto Medio en Capitalización Simple

i = Suma nCh / Suma Ch

Fórmula: Tanto Medio en Capitalización Compuesta

i = (Suma nCh / Suma Ch)^(1/n) - 1