Matemáticas Numéricas: Convergencia de Newton y Aproximaciones Sucesivas
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Representación Decimal Normalizada
La representación decimal normalizada de un número real x se expresa de la siguiente forma:
x = ±(AqAq-1...A1A0.B1B2...Bp...)
Esta notación se descompone en una suma ponderada de potencias de 10:
x = Aq × 10q + Aq-1 × 10q-1 + ... + A1 × 101 + A0 × 100 + B1 × 10-1 + ... + Bp × 10-p + ...
Alternativamente, la forma normalizada se puede expresar como:
x = ±(0.d1d2...dpdp+1...) × 10n
Orden y Estimación del Método de Aproximaciones Sucesivas (MAS)
Sea f una función con un punto fijo α ∈ (a, b). Se supone que f es de clase Cp con p ≥ 1 en un entorno de α, con |f’(α)| < 1 y tal que:
f’(α) = f’’(α) = … = f(p-1)(α) = 0
Entonces, el Método de Aproximaciones Sucesivas (MAS) es localmente convergente en un entorno (α - δ, α + δ). Para cualquier x0 ∈ (α - δ, α + δ), el error verifica la relación:
(Xn+1 - α) / (Xn - α)p = (f(p)(ξn)) / p!
donde ξn se encuentra entre Xn y α.
El límite cuando n tiende a infinito de la expresión anterior es:
limn→∞ [(Xn+1 - α) / (Xn - α)p] = (f(p)(α)) / p!
Esto garantiza un orden de convergencia de al menos p. Esta propiedad se deriva de la expansión de Taylor de f(Xn) alrededor de α:
f(Xn) = f(α) + f’(α)/1! (Xn - α) + f’’(α)/2! (Xn - α)2 + … + f(p-1)(α) / (p-1)! (Xn - α)p-1 + f(p)(ξn) / p! (Xn - α)p
Convergencia Global del Método de Newton (MN)
Sea F una función, F ∈ C2([a,b]), que verifica las siguientes condiciones:
- (i) F(a)F(b) < 0
- (ii) F’(x) ≠ 0 para todo x ∈ [a,b]
- (iii) F’’(x) ≤ 0 o F’’(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,b] (es decir, F es cóncava o convexa en el intervalo)
- (iv) Si c ∈ {a,b} denota el extremo de [a,b] en el que |F’(x)| es mínimo, entonces se cumple que |F(c) / F’(c)| ≤ b - a.
Bajo estas condiciones, la ecuación F(x) = 0 tiene una única raíz α ∈ (a,b), y para cualquier x0 ∈ [a,b], el Método de Newton (MN) converge a α. Analicemos los casos:
Demostración de Convergencia
Caso 1: a ≤ x0 ≤ α
Se demuestra que la sucesión (Xn) generada por el método verifica Xn ≤ Xn+1 ≤ α para todo n ≥ 0. Si β = limn→∞ (Xn), entonces de la fórmula de iteración Xn+1 = Xn - F(Xn) / F’(Xn), al tomar el límite, se obtiene F(β) / F’(β) = 0, lo que implica β = α.
Para este caso, supongamos que para algún n ≥ 0 se tiene: a ≤ Xn ≤ α. Probaremos que Xn ≤ Xn+1 ≤ α. En efecto, Xn ≤ α implica que F(Xn) ≤ 0. Dado que F’(Xn) > 0 (por la condición (ii)), se tiene Xn+1 = Xn - F(Xn) / F’(Xn) ≥ Xn.
Por el Teorema del Valor Medio, -F(Xn) = F(α) - F(Xn) = F’(ξn) (α - Xn), donde Xn ≤ ξn ≤ α. Si F’ es decreciente (por ejemplo, si F’’ ≤ 0), entonces F’(ξn) ≤ F’(Xn), y por lo tanto, -F(Xn) ≤ F’(Xn) (α - Xn). De aquí, Xn+1 = Xn - F(Xn) / F’(Xn) ≤ Xn + (α - Xn) = α. Por inducción en n, se deduce que si a ≤ x0 ≤ α, entonces x0 ≤ x1 ≤ … ≤ Xn ≤ α.
Caso 2: α ≤ x0 ≤ b
Se prueba que en este caso, a ≤ x1 ≤ α, de modo que, salvo el primer término, la sucesión satisface las condiciones del caso anterior y su convergencia a α está asegurada.
En este caso, F(x0) ≥ 0. Además, por el Teorema del Valor Medio: F(x0) = F(α) + F’(ξ0) (x0 - α). Si F’ es decreciente, entonces F’(ξ0) ≥ F’(x0), de donde se sigue F(x0) ≥ F’(x0) (x0 - α), y por lo tanto: x1 = x0 - F(x0) / F’(x0) ≤ x0 - (x0 - α) = α.
Continuando con el Caso 2, por el Teorema del Valor Medio, F(x0) = F(b) + F’(ξ) (x0 - b), donde x0 ≤ ξ ≤ b. Si F’ es decreciente, entonces F’(b) ≤ F’(ξ), lo que implica F(x0) ≤ F(b) + F’(b) (x0 - b). Además, como x0 ≤ b, y si F’(x) > 0 en [a,b], entonces 1/F’(b) ≥ 1/F’(x0).
Así, x1 = x0 - F(x0) / F’(x0) ≥ x0 - F(x0) / F’(b) ≥ x0 - (F(b) / F’(b) + x0 - b) = -F(b) / F’(b) + b. Por la hipótesis (iv), se tiene |F(b) / F’(b)| ≤ b - a. Si F(b) y F’(b) tienen el mismo signo (lo cual es consistente con las condiciones), entonces F(b) / F’(b) puede ser positivo o negativo. Asumiendo que F(b) / F’(b) ≥ -(b-a), entonces x1 ≥ b - (b - a) = a. La condición (iv) es crucial, ya que garantiza que el primer iterante (x1) cae dentro del intervalo [a,b], permitiendo que la convergencia se establezca a partir de x1.