Mates2
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a.1.7. subspacio vctorial sa 1 subconjunto d e, lo k significa k sta contnido o s igual a e. dcimos k s subspacio vctorial d e si y solo si:
• tienyemnto 0.
• tien k cumplir simultanamnt:
-xa cualkiera 2 vctors v1 y v2 prtn100ts a , v1+v2 tambien tien k prtncr a H
-xa cualkier vctor v1 prtn100t a y xa k cualkier numro ral, kv1 tien k prtncr a H
no sn subspacios vctorials:
- numros sueltos , potncias.
- tniendo vctor u=(x,y), no s sub. vctorial xy+x=0 (producto d 2 coordnadas)
- logaritmos,e c.(cosas raras)
si sn subspacios vctorials:
- ax+by`cz=0
- c..x+.....y=0
a.4.2. núclo e imagn d 1a aplicación linal
sa 1a aplicacion linal f : e ¨ eL. yamamos núclo d 1a aplicacion linal f, kr(f), al conjunto formado
x to2 ls vctors d e cuya imagn a travs d f sl nutro d eL. s dcir, to2 ls vctors d e , cuya imagn
en eLsl 0.l conjunto kr(f) s 1 subspacio vctorial d e.
yamamos imagn d 1a aplicacion linal f, im(f), al conjunto formado x to2 ls vctors d eLk sn
imagn d algunlmnto d e.l conjunto im(f) s 1 subspacio vctorial d eL. la dimnsion dl subspacio
imagn coincid conl rango d la matriz asociada a f:
dim(im(f))=rg(m(f))
tor+:
• f s inyectiva <=> kr(f)={0}
• f s sobryectiva <=> rg(m(f)) = dim(eL)
• muy imxtant: dim(kr(f)) + dim(im(f))=dim(e)
• si e=eLy f s inyectiva ==>f s biyectiva
• si e=eL y f s sobryectiva ==>f s biyectiva
a.5.1. autovalors o valors propios y autovctors o vctors propios
s dic k ă (numro ral) s 1 valor propio d la matriz a si exist algun vctor x no nulo d e tal k:
ax = ăx
si ă s valor propio d a entoncs ls vctors no nuls d e k vrifican la antrior rlacion s dnominan
vctors propios d a asocia2 a ă.
cada vctor propio sta asociado a 1 1ico valor propio. sin embargo cada valor propio tien asocia2 1 o
+ vctors propios.
a.6.1. forma cuadrática
s yama forma cuadratica ral q enl spacio vctorial rn a la siguient aplicacion:
q: rn ¨ r
? ¨ q( ?)=ƒ¿ ƒ¿ s 1 numro ral
k vrifica la propiedad q(ăx)=ăăq( ?), xa cualkier ? d rn y cualkier ă(numro ral).
tambien ay k tnr en cuenta k q(0)=0
clasificacion d for+ cuadraticas:
• dfinida positiva(d.p.): si q( ?)>0
• smidfinida positiva(s.d.p.): si q( ?)>=0
• dfinida ngativa(d.n.): si q( ?)<0
• smidfinida ngativa(s.d.n.): si q( ?)<=0
• indfinida: si no tien signo dfinido,s dcir si q( ?)><0 (si no s ning1 d ls 4 casos antriors)
c.1.1. curvas d nivl
una curva d nivl sn to2 ls puntos dond la funcion tienl mismo valor. s dcir, tniendo 1a f(x,y), la
igualas a 1 valor ral, y dspjas y en funcion d x, y lo rprsntas.
c.1.2. continuidad
• xa f(x):
f(x) s continua en a cuandol limit x la izqda. y x la drxa concidn con la imagn d a.
• xa f(x,y):
f(x,y) s continua enl punto (x0, y0) coincid con la imagn d (x0,y0)
• propiedads d la continuidad:
• todas la funcionslmntals(polinomios, sno, cosno, exponncial, logaritmo...) sn funcions
continuas en todo su dominio.
• ls funcionslmntals rlacionadas mdiant suma, rsta , multiplicacion o division, dan cm
rsultado 1a funcion continua.
• tienyemnto 0.
• tien k cumplir simultanamnt:
-xa cualkiera 2 vctors v1 y v2 prtn100ts a , v1+v2 tambien tien k prtncr a H
-xa cualkier vctor v1 prtn100t a y xa k cualkier numro ral, kv1 tien k prtncr a H
no sn subspacios vctorials:
- numros sueltos , potncias.
- tniendo vctor u=(x,y), no s sub. vctorial xy+x=0 (producto d 2 coordnadas)
- logaritmos,e c.(cosas raras)
si sn subspacios vctorials:
- ax+by`cz=0
- c..x+.....y=0
a.4.2. núclo e imagn d 1a aplicación linal
sa 1a aplicacion linal f : e ¨ eL. yamamos núclo d 1a aplicacion linal f, kr(f), al conjunto formado
x to2 ls vctors d e cuya imagn a travs d f sl nutro d eL. s dcir, to2 ls vctors d e , cuya imagn
en eLsl 0.l conjunto kr(f) s 1 subspacio vctorial d e.
yamamos imagn d 1a aplicacion linal f, im(f), al conjunto formado x to2 ls vctors d eLk sn
imagn d algunlmnto d e.l conjunto im(f) s 1 subspacio vctorial d eL. la dimnsion dl subspacio
imagn coincid conl rango d la matriz asociada a f:
dim(im(f))=rg(m(f))
tor+:
• f s inyectiva <=> kr(f)={0}
• f s sobryectiva <=> rg(m(f)) = dim(eL)
• muy imxtant: dim(kr(f)) + dim(im(f))=dim(e)
• si e=eLy f s inyectiva ==>f s biyectiva
• si e=eL y f s sobryectiva ==>f s biyectiva
a.5.1. autovalors o valors propios y autovctors o vctors propios
s dic k ă (numro ral) s 1 valor propio d la matriz a si exist algun vctor x no nulo d e tal k:
ax = ăx
si ă s valor propio d a entoncs ls vctors no nuls d e k vrifican la antrior rlacion s dnominan
vctors propios d a asocia2 a ă.
cada vctor propio sta asociado a 1 1ico valor propio. sin embargo cada valor propio tien asocia2 1 o
+ vctors propios.
a.6.1. forma cuadrática
s yama forma cuadratica ral q enl spacio vctorial rn a la siguient aplicacion:
q: rn ¨ r
? ¨ q( ?)=ƒ¿ ƒ¿ s 1 numro ral
k vrifica la propiedad q(ăx)=ăăq( ?), xa cualkier ? d rn y cualkier ă(numro ral).
tambien ay k tnr en cuenta k q(0)=0
clasificacion d for+ cuadraticas:
• dfinida positiva(d.p.): si q( ?)>0
• smidfinida positiva(s.d.p.): si q( ?)>=0
• dfinida ngativa(d.n.): si q( ?)<0
• smidfinida ngativa(s.d.n.): si q( ?)<=0
• indfinida: si no tien signo dfinido,s dcir si q( ?)><0 (si no s ning1 d ls 4 casos antriors)
c.1.1. curvas d nivl
una curva d nivl sn to2 ls puntos dond la funcion tienl mismo valor. s dcir, tniendo 1a f(x,y), la
igualas a 1 valor ral, y dspjas y en funcion d x, y lo rprsntas.
c.1.2. continuidad
• xa f(x):
f(x) s continua en a cuandol limit x la izqda. y x la drxa concidn con la imagn d a.
• xa f(x,y):
f(x,y) s continua enl punto (x0, y0) coincid con la imagn d (x0,y0)
• propiedads d la continuidad:
• todas la funcionslmntals(polinomios, sno, cosno, exponncial, logaritmo...) sn funcions
continuas en todo su dominio.
• ls funcionslmntals rlacionadas mdiant suma, rsta , multiplicacion o division, dan cm
rsultado 1a funcion continua.