Matrices en Álgebra Lineal: Conceptos Fundamentales, Operaciones y Métodos de Cálculo

Conceptos Fundamentales de Matrices y sus Operaciones

Tipos de Matrices

• Diagonal de una Matriz

  Son los elementos de una matriz cuadrada donde la ubicación de su fila es la misma que la de su columna. Es decir, elementos como a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., a_nn.

• Matriz Identidad

  Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son 1, y el resto de los elementos son 0. Se denota comúnmente por I. Por ejemplo, una matriz identidad de orden 3 es:

  I = [[1, 0, 0],
       [0, 1, 0],
       [0, 0, 1]]

• Matriz Escalonada Reducida

  Una matriz está en forma escalonada reducida si cumple las siguientes condiciones:

  1. Cada fila que contiene solo ceros está por debajo de todas las filas que contienen elementos no nulos.
  2. El primer elemento no nulo (pivote) en cada fila no nula es 1.
  3. Cada pivote está a la derecha del pivote de la fila superior.
  4. Cada columna que contiene un pivote tiene ceros en todas las demás posiciones.

  Nota: El ejemplo original proporcionado (A= F1(172) F2(014) F3(001)) corresponde a una matriz triangular superior con unos en la diagonal, pero no necesariamente a una matriz escalonada reducida. Un ejemplo de matriz escalonada reducida sería:

  A = [[1, 0, 0],
       [0, 1, 0],
       [0, 0, 1]]

  o

  B = [[1, 0, 2],
       [0, 1, 3],
       [0, 0, 0]]

• Matriz Transpuesta

  Sea A una matriz, la matriz transpuesta de A, denotada por A^T, se obtiene al intercambiar sus filas por sus columnas.

Operaciones con Matrices

Propiedades Fundamentales

Las operaciones con matrices cumplen las siguientes propiedades:

• Conmutativa para la Suma

  Para dos matrices A y B del mismo orden: A + B = B + A.

• Asociativa para la Suma

  Para tres matrices A, B y C del mismo orden: A + (B + C) = (A + B) + C.

• Elemento Neutro para la Suma

  Sea N la matriz nula (todos sus elementos son cero) y A una matriz del mismo orden: A + N = A.

Tipos de Operaciones

• Suma de Matrices

  Sean A y B matrices del mismo orden (m x n). La suma de matrices se define al sumar los elementos que ocupan la misma posición en cada matriz. Es decir, (A + B)_ij = A_ij + B_ij.

• Resta de Matrices

  Sean A y B matrices del mismo orden. La resta de A - B se define como la suma de A más el opuesto de B (es decir, A + (-B)), donde -B es la matriz B con todos sus elementos multiplicados por -1.

• Multiplicación por un Escalar

  Sea A una matriz y α un escalar cualquiera. La multiplicación de la matriz por un escalar se define como la operación de multiplicar cada elemento de la matriz por dicho escalar. Es decir, (αA)_ij = α ċ A_ij.

• Producto de Matrices

  Sean A una matriz de dimensión m x n y B una matriz de dimensión n x r. El producto de matrices A ċ B se define como una nueva matriz C de dimensión m x r, donde cada elemento C_ij se obtiene sumando el producto de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B. Es decir, C_ij = ∑_k=1ⁿ A_ik ċ B_kj.

Conceptos Avanzados de Matrices

Determinante de una Matriz

El determinante es un valor escalar que puede calcularse a partir de los elementos de una matriz cuadrada. Es fundamental en álgebra lineal para determinar si una matriz es invertible, resolver sistemas de ecuaciones lineales, entre otros.

• Para una Matriz 2x2

  Para una matriz A = [[a, b], [c, d]], el determinante se calcula como: det(A) = ad - bc.

• Para una Matriz 3x3: Método de Sarrus

  Para una matriz 3x3, el método de Sarrus es una regla mnemotécnica para calcular su determinante. Si A es:

  A = [[a11, a12, a13],
       [a21, a22, a23],
       [a31, a32, a33]]

  El determinante se calcula sumando los productos de las diagonales principales y sus paralelas, y restando los productos de las diagonales secundarias y sus paralelas.

Matriz Inversa

Sea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz inversa de A, denotada por A^-1, es otra matriz tal que su producto con A resulta en la matriz identidad I. Es decir, A ċ A^-1 = A^-1 ċ A = I. Una matriz solo tiene inversa si su determinante es diferente de cero.

Método de Gauss-Jordan para la Inversa

Este método consiste en obtener la matriz inversa mediante los siguientes pasos:

1. Se construye una matriz aumentada [A | I], donde A es la matriz original y I es la matriz identidad del mismo orden.
2. Se realizan operaciones elementales entre filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar un múltiplo de una fila a otra) de manera que la matriz original A se transforme en la matriz identidad I.
3. Simultáneamente, las mismas operaciones se aplican a la matriz identidad I adjunta, la cual se transformará en la matriz inversa A^-1.
4. Si el proceso es exitoso, la matriz resultante será [I | A^-1].