Matrices y Determinantes: Conceptos Fundamentales y Propiedades Esenciales

Matrices y Determinantes

1.1. Matrices

1.1.1. Definición y Operaciones con Matrices

1.1.2. Matriz Inversa

1.1.3. Matriz Transpuesta

1.2. Determinantes

1.2.1. Definición y Función Determinante

1.2.2. Propiedades de los Determinantes

1.2.3. Cálculo de Determinantes: Método de Reducción a Forma Escalonada y Método de los Cofactores

1.2.4. Cálculo de la Matriz Inversa: Método de la Adjunta

¿Qué es una Matriz?

En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números, consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir:

• Sistemas de ecuaciones lineales.
• Realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal.
• Registrar los datos que dependen de varios parámetros.

• Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
• Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m × n (escrito m×n), y a m y n se les conoce como las dimensiones de la matriz.
• Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Normalmente se escribe:

para definir una matriz A de m × n, con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada a_ij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuyo caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

• Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Propiedades de la Suma de Matrices

Dadas las matrices A, B y C de dimensiones m×n (compatibles para la suma):

• Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Propiedad Conmutativa: A + B = B + A
• Existencia de Elemento Neutro (Matriz Cero o Nula): Existe una matriz cero (0) tal que A + 0 = 0 + A = A.
• Existencia de Elemento Opuesto (Matriz Opuesta): Para cada matriz A, existe una matriz opuesta (-A), donde -A = [-a_ij], tal que A + (-A) = 0.