Matrices, Determinantes e Introducción a Sistemas y Teoremas de Cálculo

Matrices

Definición. Una matriz es un conjunto ordenado en filas y columnas de números reales. Se caracteriza por sus filas y columnas. Con las matrices se pueden realizar operaciones como suma, resta y multiplicación.

Propiedades de la multiplicación de matrices

• Es una operación interna (si las dimensiones son compatibles).
• Es asociativa: (AB)C = A(BC).
• No es, en general, conmutativa: AB ≠ BA en general.
• Existe un elemento neutro, la matriz identidad I, tal que AI = IA = A.

Teorema de la matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada. A tiene inversa si y solo si det(A) ≠ 0. En tal caso, la inversa puede expresarse mediante la matriz de cofactores (adjunta) transpuesta:

A^-1 = (1 / det(A)) · adj(A)^T.

Además, por las propiedades del determinante: |A| · |A^-1| = |A·A^-1| = |I| = 1, por lo que |A^-1| = 1 / |A| ≠ 0.

Sistemas de ecuaciones

Regla de Cramer

Para un sistema lineal con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, existe una solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Cada incógnita se expresa como el cociente de dos determinantes: en el numerador aparece el determinante de la matriz que se obtiene al sustituir la columna correspondiente a la incógnita por el vector de términos independientes; en el denominador aparece el determinante de la matriz de coeficientes A.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea un sistema lineal con m ecuaciones y n incógnitas. El sistema tiene solución si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada (coeficientes más términos independientes).

• Si rango = n (número de incógnitas), la solución es única.
• Si rango < n, existen infinitas soluciones que dependen de parámetros libres.
• Si los rangos son distintos, el sistema no tiene solución.

Espacio afín

Definición. Un espacio afín es un conjunto de puntos en el que está definida una relación con un espacio vectorial asociado. En general, un espacio afín de dimensión n se puede entender como un conjunto donde los vectores libres entre puntos pertenecen a un espacio vectorial de dimensión n. Por ejemplo, el espacio afín de dimensión 3 está relacionado con el espacio vectorial tridimensional.

Regla de L'Hôpital

Sean f(x) y g(x) funciones definidas en un entorno de un punto a, continuas en dicho entorno (salvo quizá en a) y derivables en el entorno (salvo quizá en a). Si f(a) = g(a) = 0 (o ambos tienden a ±∞) y existe el límite lim_x→a f'(x)/g'(x) (finito o ±∞), entonces

lim_x→a f(x)/g(x) = lim_x→a f'(x)/g'(x),

donde se deben cumplir las condiciones adicionales necesarias (por ejemplo, g'(x) ≠ 0 cerca de a).

Teoremas fundamentales del cálculo y análisis de funciones

A continuación se exponen varios teoremas importantes, con las condiciones precisas.

1) Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces alcanza un máximo y un mínimo en ese intervalo.

2) Teorema de Bolzano

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos (f(a)·f(b) < 0), entonces existe al menos un punto interior c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

3) Teorema de Rolle

Si una función f(x) cumple:

• f es continua en [a, b],
• f es derivable en (a, b),
• f(a) = f(b),

entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

4) Teorema del valor medio (Lagrange)

Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que

(f(b) - f(a)) / (b - a) = f'(c),

equivalente a f(b) - f(a) = f'(c)·(b - a).