Matrices: Operaciones y Propiedades Clave

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

Matriz Transpuesta

Cuando cambiamos filas por columnas, obtenemos la Matriz Transpuesta.

Sistema Lineal

Manera de representar un sistema de ecuaciones con incógnitas: Sistema Lineal

(ax + by = c)

(dx + ey = f)

Ejemplo de Matriz Cuadrada Simétrica

F(121/224/146)          Ft=(121/224/146)

Matriz Opuesta

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. Lo opuesto de A es -A.

Propiedades de la Suma de Matrices

• Propiedad Asociativa
• Propiedad Conmutativa
• Elemento Nulo
• Matriz Opuesta

Propiedades de los Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz transpuesta. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de una matriz queda multiplicado por dichos números. Si todas las líneas de una matriz de orden n están multiplicadas por el mismo número t, el determinante de cada matriz queda multiplicado por tⁿ. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices. Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas, su determinante cambia de signo. Si una línea de una matriz cuadrada es combinación lineal de las líneas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras líneas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros, su determinante es cero. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de las líneas restantes, no varía.

Comparación entre los Métodos de Gauss-Jordan y Gaussiano

Se recomienda utilizar la estrategia de pivoteo en cualquier implementación que se haga de estos métodos sobre una computadora. Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan problemas como la división entre cero. Aunque en todos los demás sentidos son iguales, la eliminación gaussiana es preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% más rápida. Sin embargo, el método de Gauss-Jordan sigue siendo útil, ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inversa como beneficio adicional en los cálculos. Aunque los métodos de eliminación tienen una gran utilidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor muy importante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos.