Maximización de Beneficios y Determinación de la Oferta en la Empresa Competitiva

La Oferta y los Objetivos de la Empresa Competitiva

El objetivo fundamental de la empresa competitiva es la maximización del beneficio ($\pi$).

Formulación del Problema de Maximización

El problema se formula como:

$$\max \pi = py - C(y) \quad \text{sujeto a} \quad y \geq 0$$

Donde $p$ es el precio, $y$ es la cantidad producida y $C(y)$ es la función de costes.

Condiciones de Primer Orden (CPO)

Aplicando las condiciones de Kuhn-Tucker de primer orden, se tiene:

• $$\frac{d\pi}{dy} \leq 0$$
• $$y^* \geq 0$$
• $$y^* \left[\frac{d\pi}{dy}\right] = 0$$

Esta es una condición necesaria, pero no suficiente, para que $y$ conduzca a un máximo.

Condiciones de Segundo Orden (CSO)

Para distinguir entre máximos y mínimos locales interiores ($y^* > 0$), se necesita una condición de segundo orden:

$$\frac{d^2\pi}{dy^2} = -\frac{d^2C(y)}{dy^2} < 0$$

Esto implica que la pendiente del Coste Marginal (Cma) debe ser positiva:

$$\frac{d(Cma)}{dy} > 0$$

La Función de Oferta a Largo Plazo (L/P)

Suponiendo que $y > 0$, las condiciones para maximizar el beneficio son:

1. Condición de Primer Orden (CPO): Igualdad entre Precio y Coste Marginal. $$\frac{d\pi}{dy} = p - \frac{dC(y)}{dy} = 0 \implies p = Cma_{L/P}$$
2. Condición de Segundo Orden (CSO): Coste Marginal creciente. $$\frac{d^2\pi}{dy^2} = -\frac{d^2C(y)}{dy^2} < 0 \implies \frac{d(Cma_{L/P})}{dy} > 0$$

La empresa maximiza los beneficios moviéndose a lo largo de su curva de Coste Marginal hasta que este iguale al precio de mercado.

La Curva de Oferta de la Empresa y de la Industria

Demanda y Oferta Individual

Sea $x_i = D_i(p)$ la demanda del bien $x$ por el consumidor $i$. La demanda total del mercado viene dada por $X = \sum X_i = D(p)$.

Sea $Y_j = S_j(p, w)$ la oferta del bien $y$ por la empresa $j$, donde $w$ es el precio del factor variable.

Complicaciones en la Obtención de la Curva de Oferta del Mercado

La obtención de la curva de oferta del mercado presenta complicaciones debido a las externalidades, que pueden ser de dos tipos:

a) Deseconomías Externas Pecuniarias

Ocurren cuando el aumento de la producción total de la industria ($Y$) incrementa el precio del factor de producción variable ($w$).

• El precio del factor $w$ depende de la demanda agregada de factores $z$, que a su vez depende de la producción total $Y$: $w = w(z(Y))$.
• Se cumple que $\frac{dz}{dY} > 0$ y $\frac{dw}{dz} > 0$.

b) Deseconomías Externas Tecnológicas

Ocurren cuando el aumento de la producción total de la industria ($Y$) aumenta el coste de todas las empresas del sector.

• El coste depende de un parámetro tecnológico $a$, que a su vez depende de la producción total $Y$: $w = w(a(Y))$.
• Se cumple que $\frac{da}{dY} > 0$ y $\frac{dw}{da} > 0$.

Desarrollo Analítico de la Oferta de la Empresa

Consideremos la oferta de la empresa $j$ bajo deseconomías externas pecuniarias. La oferta individual $Y_j$ depende del precio $p$ y del precio del factor $w$, que a su vez depende de la producción total de la industria $Y$.

$$Y_j = S_j(p, w) = S_j(p, w(z))$$

Donde $z = z(Y)$ y $Y = Y(p)$. Por sustitución, la oferta individual se convierte en una función implícita del precio de mercado:

$$Y_j = S_j(p, w(z(Y(p)))) = S_j(p)$$

Derivando la expresión anterior respecto de $p$ (aplicando la regla de la cadena):

$$\frac{dY_j}{dp} = \frac{\partial S_j}{\partial p} + \frac{\partial S_j}{\partial w} \cdot \frac{dw}{dz} \cdot \frac{dz}{dY} \cdot \frac{dY}{dp}$$

O usando notación abreviada ($S_{jp} = \partial S_j / \partial p$):

$$\frac{dY_j}{dp} = S_{jp} + S_{jw} \cdot \frac{dw}{dz} \cdot \frac{dz}{dY} \cdot \frac{dY}{dp}$$

Debido al efecto indirecto a través del precio del factor ($S_{jw}$), la curva de oferta efectiva de una empresa puede tener pendiente positiva o negativa, dependiendo de la magnitud de las deseconomías externas.

Curva de Oferta Efectiva de la Industria

Sea $Y = \sum Y_j$ la oferta total de la industria. Derivando la expresión anterior respecto de $p$ y despejando $\frac{dY}{dp}$ (la pendiente de la curva de oferta de la industria):

$$\frac{dY}{dp} = \sum S_{jp} + \frac{dw}{dz} \cdot \frac{dz}{dY} \cdot \frac{dY}{dp} \cdot \sum S_{jw}$$

Despejando $\frac{dY}{dp}$:

$$\frac{dY}{dp} = \frac{\sum S_{jp}}{1 - \left(\frac{dw}{dz} \cdot \frac{dz}{dY} \cdot \sum S_{jw}\right)}$$

En condiciones normales de estabilidad y competencia, se concluye que la curva de oferta efectiva de la industria tiene pendiente positiva, aunque su elasticidad se ve modificada por la presencia de deseconomías externas.