Medidas de posición en estadística discreta: media, mediana, moda y cuartiles

Estadística discreta

Medidas de posición

Las medidas de posición son aquellas cuyos valores dividen en fracciones al conjunto ordenado de unidades elementales según el valor de la variable. Entre las principales medidas de posición se encuentran:

• Media aritmética (X)
• Mediana
• Moda
• Cuartiles

La media aritmética, la mediana y la moda también son medidas de tendencia central y, en el caso de datos sin agrupar, se calculan siguiendo los procedimientos que se describen a continuación.

Datos sin agrupar

Se trabaja con datos sin agrupar cuando tenemos un número reducido de observaciones; habitualmente, si hay hasta 30 o 40 observaciones se puede trabajar sin agrupar.

Media aritmética

Definición: La media aritmética es la suma de las observaciones de una muestra dividida entre el número de observaciones realizadas.

Mediana

Definición: La mediana (Me) es el valor de la variable que divide al conjunto ordenado de valores observados en dos partes iguales: el 50% de los valores son menores o, como máximo, iguales a la mediana, y el 50% restante son mayores o, como máximo, iguales a la mediana. Para calcularla, los valores deben estar ordenados.

Si el número de datos (n) es impar, la mediana coincide con un valor observado y es igual al valor que ocupa la posición:

Es decir, si n es impar, la posición de la mediana es (n + 1) / 2 y la mediana Me es el valor observado en esa posición.

Si el número de datos es par, la mediana es el promedio de los dos valores que ocupan las posiciones centrales. Es decir, si n es par, las posiciones centrales son n/2 y (n/2) + 1:

En este caso, la mediana puede o no coincidir con un valor observado; coincide cuando los dos valores centrales son iguales.

Moda

Definición: La moda (Mo) es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, aquel que aparece con mayor frecuencia. Puede ocurrir que no exista moda si todos los valores se repiten el mismo número de veces. Cuando la serie presenta más de dos modas se dice que es multimodal.

Cuartiles

Con frecuencia es conveniente dividir los datos en cuatro partes de manera que cada una contenga el 25% de los datos. A los puntos de división se les llama cuartiles (Q1, Q2 o mediana, Q3).

Datos en agrupación simple. Distribuciones de frecuencias

Cuando se trabaja con conjuntos grandes de datos que provienen de una variable de naturaleza cuantitativa discreta, con frecuencia es útil organizarlos y resumirlos mediante la construcción de una tabla que liste los distintos valores posibles de la variable junto con las frecuencias correspondientes, es decir, la cantidad de veces que se presenta cada uno de los valores de la variable.

Conceptos clave:

• Frecuencia absoluta: número de veces que aparece cada valor.
• Frecuencia relativa: proporción o porcentaje que representa la frecuencia absoluta respecto del total.
• Distribución de frecuencias: tabla que resume valores y frecuencias, facilitando el cálculo de medidas de posición y dispersión.

Al organizar los datos en una tabla de frecuencias es más sencillo calcular la media, la mediana, la moda y los cuartiles, incluso cuando el conjunto de datos es amplio.