Medidas de Tendencia Central y Dispersión en Estadística

Medidas de Tendencia Central

Media Aritmética

Es una medida de centralización que se define como el cociente de dividir la suma de todas las observaciones de la población (o muestra) entre el tamaño de la misma.

Mediana

La mediana de una distribución de frecuencias es el valor que ocupa el centro de la distribución. Es decir, el valor que deja a su izquierda el 50% de las observaciones (ordenadas de menor a mayor) y a su derecha el otro 50%. Se denota como Me.

Variables Discretas

• a) Si cada observación aparece una sola vez (f_i = 1):
  • Si n es impar, la mediana es el valor del término central (datos ordenados de menor a mayor).
  • Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales (datos ordenados de menor a mayor).
• b) Si cada observación x_i aparece f_i veces, se calcula n / 2. Siendo F_i la frecuencia acumulada de x_i:
  • Si F_i-1 < n / 2 < F_i, entonces Me = x_i.
  • Si F_i = n / 2, entonces Me = (x_i + x_i+1) / 2.

Variables Continuas

La mediana está en el intervalo [l_i, l_i+1) si F_i-1 < n / 2 < F_i, donde F_i es la frecuencia acumulada del intervalo. El valor de la mediana se calcula como: Me = l_i + ((n / 2 – F_i-1) (l_i+1 – l_i)) / f_i, donde f_i es la frecuencia absoluta del intervalo.

Cuantiles

El cuantil p% es el valor que tiene el p% de las observaciones (ordenadas de menor a mayor) por debajo y el (100 - p)% por encima. Se representa como Q_p.

Cuartiles

Son los cuantiles 25%, 50% (mediana) y 75%, denotados como Q₁, Q₂ y Q₃, respectivamente.

Deciles

Son los cuantiles 10%, 20%, ..., 90%.

Percentiles

Son los cuantiles 1%, 2%, ..., 99%.

Moda

La moda (Mo) es el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta. Puede no ser única (unimodal, bimodal, plurimodal).

• Variable Discreta: Es el valor de la variable con la máxima frecuencia absoluta.
• Variable Continua: El intervalo modal es el que tiene la mayor frecuencia absoluta. La moda se considera la marca de clase de dicho intervalo.

Medidas de Dispersión Absolutas

Expresan la dispersión en las mismas unidades de la variable.

Desviación

La desviación de un dato x_i respecto a la media (x̄) se define como d_i = x_i - x̄.

Varianza

La varianza (σ²) es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a la media.

Desviación Típica

La desviación típica (σ) es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Tiene la ventaja de estar en las mismas unidades que los datos.