Medidas de Tendencia Central: Media, Mediana, Moda y Cuantiles

1. Media Aritmética

La media aritmética es la medida de tendencia central más utilizada. Se define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuencias relativas y se calcula mediante la siguiente expresión: ...

Para datos agrupados, se calculará el punto medio.

Propiedades de la Media Aritmética

• Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos.
• Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
• Una serie de datos solo tiene una media.
• Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
• Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es cero.
• Se considera a la media como el punto de balance de una serie de datos.

Desventajas de la Media Aritmética

• Si alguno de los valores es extremadamente grande o pequeño, la media no es representativa.
• No se puede determinar si en una distribución de frecuencia hay intervalos de clase abiertos.

2. Mediana

La mediana es el valor de la variable que, ordenada de menor a mayor, ocupa el lugar central en la distribución, es decir, deja el mismo número de observaciones a su izquierda y derecha.

Casos para calcular la Mediana

1. Distribuciones no agrupadas en intervalos: Se determina el primer valor X_i de la variable cuya N_i > N/2. Entonces, Me = X_i.
2. Distribuciones agrupadas en intervalos: Hay que identificar el intervalo donde se encuentra la mediana (ver fórmula).

Propiedades de la Mediana

• La mediana hace mínima la suma de todas las desviaciones absolutas (ver fórmula).
• Dada una variable X, si consideramos la variable Y = kX + c, entonces (ver fórmula).
• La mediana no depende de valores extremos y es un valor que puede o no pertenecer a la distribución.

Ventajas de la Mediana

• Cálculo rápido.
• Interpretación sencilla.
• El 50% de las observaciones son mayores a la mediana y el otro 50% son menores.
• Poco sensible a variaciones muestrales.

Inconvenientes de la Mediana

• Se presta poco al cálculo algebraico.
• Las operaciones no son sencillas.

3. Moda

La moda es el valor de la variable que más veces se repite (con mayor frecuencia absoluta n_i), por lo tanto, no siempre es única.

Cálculo de la Moda

• A. No agrupados en intervalos: Mayor n_i.
• B. Agrupados en intervalos:
  • Distinta amplitud (ver fórmula).
  • Igual amplitud (ver fórmula).

4. Relación entre Media, Mediana y Moda

En distribuciones totalmente simétricas, las tres medidas coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, se cumple la siguiente relación: Media - Moda = 3(Media - Mediana).

Las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda, respectivamente, y para curvas simétricas, los tres valores coinciden.

5. Cuantiles

Los cuantiles son aquellos valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que contienen el mismo número de valores. Se denomina cuantil r-ésimo de orden k y se representa como C_r/k al valor de la variable tal que hay r/k partes de la distribución menores o iguales a él y las k - r/k partes restantes son mayores o iguales que él.

Es decir, si la distribución tiene N valores, entonces C_r/k deja a su izquierda al menos r/k x N valores y a su derecha N - r/k x N valores.