Método de Bisección: Fundamentos y Aplicación en Ecuaciones No Lineales

¿Qué es el Método de Bisección?

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que contiene la raíz. Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.

Fundamentos Teóricos

Se basa en el Teorema del Valor Intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio, por lo que con certeza existe un punto p en [a, b] que cumple f(p) = 0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x) = 0.

Pasos del Algoritmo

El método consiste en los siguientes pasos:

• Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a, b].
• Se verifica que f(a) * f(b) < 0.
• Se calcula el punto medio m del intervalo [a, b] y se evalúa f(m); si ese valor es igual a cero, hemos encontrado la raíz buscada.
• En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b).
• Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] o [m, b], según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo.
• Con este nuevo intervalo, se continúa sucesivamente encerrando la solución en un espacio cada vez más pequeño hasta alcanzar la precisión deseada.

Eficiencia y Convergencia

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f.

Cálculo del Error

Una cota del error absoluto en la n-ésima iteración es:

E = (|b - a|) / 2^n

La bisección converge linealmente, por lo cual es un proceso relativamente lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo. Si existiera más de una raíz en el intervalo, el método sigue siendo convergente, aunque no resulta tan sencillo caracterizar hacia qué raíz específica converge.