Método de Momentos y Estimación por Intervalos en Estadística

Método de Momentos

El método consiste en comparar los momentos muestrales con los momentos poblacionales de orden r. Su obtención viene dada en la igualación del orden de cada uno de los momentos, estableciendo sus respectivas ecuaciones, como parámetros que hagan falta para su estimación. El número de momentos depende del número de parámetros a estimar.

Estimación por Intervalos

Sea θ un parámetro poblacional desconocido, el cual deseamos estimar. Para ello, extraemos una muestra aleatoria simple de x₁, x₂, ..., x_n, donde definimos su estimador, T(x). Estimar mediante intervalos de confianza es buscar 2 valores reales, entre los cuales esté contenido el parámetro poblacional desconocido con una probabilidad cierta.

• 1. Un intervalo de confianza aporta más información que un estimador puntual cuando se quieren hacer inferencias sobre parámetros poblacionales.
• 2. Existen intervalos de confianza bilaterales y unilaterales.
• 3. La amplitud de un intervalo de confianza está determinada por: el nivel de confianza establecido, la variabilidad de los datos y el tamaño de la muestra.

Nivel de Confianza

1 - α es la probabilidad de que el parámetro poblacional desconocido pertenezca a un intervalo de confianza. 1 - α me indica, de entre todas las muestras posibles del mismo tamaño, que dicho porcentaje de muestras me asegura el mismo resultado estadístico.

Error en la Estimación

Sea θ un parámetro poblacional desconocido, a partir de una muestra aleatoria simple de x₁, x₂, ..., x_n, definimos su estimador, t(x); el error cometido en la estimación es la diferencia en valor absoluto entre el estimador y el parámetro al que se estima. El error exacto no se puede conocer porque el parámetro es desconocido, por tanto, es más exacto calcular su cota del error. Los intervalos de confianza nos proporcionan una cota del error en la estimación.

Contrastes de Hipótesis

Para la elaboración de un contraste necesitamos formular lo que llamamos una hipótesis estadística, que la definimos como una afirmación que se hace acerca de un parámetro poblacional desconocido. Las hipótesis pueden ser:

• Simples: es aquella que toma un solo valor, por tanto, la variable queda totalmente determinada por el mismo.
• Compuestas: es aquella en la que el parámetro toma un valor dentro de un intervalo, clasificándola en unilateral derecha, unilateral izquierda o bilateral.

La hipótesis nula es la hipótesis que realmente queremos contrastar y, por tanto, es la que se acepta o se rechaza como conclusión del contraste formulado. La hipótesis alternativa es la que nos sitúa contra la hipótesis nula, es decir, si como conclusión del contraste se acepta la hipótesis nula, se rechazaría la alternativa o viceversa.

La región crítica son los valores del estadístico de contraste o experimental que nos llevan a la decisión de rechazar la hipótesis nula. La región de aceptación son valores del estadístico de contraste que nos llevan a la decisión de aceptar la hipótesis nula. El problema de aceptarla o no depende del valor que tome el estadístico experimental frente al teórico, es decir, tendría que ver con la muestra elegida. Por tanto, se pueden cometer los siguientes errores:

• Error tipo 1: error que se comete en la decisión cuando se rechaza la hipótesis nula siendo esta cierta.
• Error tipo 2: error cometido en la decisión del contraste cuando se acepta la hipótesis nula siendo esta falsa.

Fases de un Contraste

1. Para elaborar contrastes de hipótesis, nos centramos en la hipótesis nula, que puede ser simple o compuesta, manteniendo la igualdad en nula y el resto en la alternativa definida como H₁.
2. Definir el estadístico experimental: se selecciona el estimador del parámetro con el que estamos trabajando, y a continuación su correspondiente distribución, y donde aparezca el parámetro poblacional desconocido se sustituye por el valor que me describa la hipótesis nula.
3. Definir la región crítica: hay que representar la distribución del estimador a usar, la región va a depender de si el contraste es bilateral, unilateral a izquierda o derecha, por tanto influye en el nivel de significación fijado que van a marcar las pautas de las correspondientes regiones críticas.

p-Valor

El p-valor es el mínimo nivel de significación en el cual la hipótesis nula sería rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado de información.