Métodos de Demostración Matemática

Demostración Directa

Una demostración de este tipo muestra que la verdad de la conclusión Q se sigue lógicamente de la verdad de la hipótesis P. La demostración empieza asumiendo que P es verdad para después, utilizando cualquier información disponible, así como teoremas probados con anterioridad, probar que Q es verdad.

Ejemplo: Demostrar que el cuadrado de un número par también es par.

Demostración:

El teorema a demostrar, escrito en forma de condicional, sería:

“Para cualquier número n, si n es par, entonces n² es par”

Si n es par, entonces existirá un número k tal que n = 2k

De aquí que, elevando al cuadrado, obtengamos:

n² = 4k² = 2(2k²)

Por lo tanto, concluimos que n² es par.

Demostración Indirecta o por Reducción al Absurdo

La demostración por reducción al absurdo se utiliza cuando los intentos de obtener directamente una conclusión no dan resultado. Consiste en:

1. Suponer la falsedad de la conclusión.
2. Obtener, a partir de este supuesto, una contradicción.
3. En vista de tal resultado, rechazar dicho supuesto y, como consecuencia, afirmar la conclusión deseada.

Ejemplo: Demostrar que si el cuadrado de un número es impar, entonces el número es impar.

Demostración:

El teorema a demostrar es:

“Para todo número n entero, si n² es impar, entonces n es impar”

Supongamos que n no es impar. Entonces, n = 2k

Luego, n² = 4k², lo cual contradice la hipótesis que afirma que n² es impar.

Lo que nos ha llevado a la contradicción es la suposición de que n no era impar, por lo tanto, esta es falsa, siendo cierta la contraria, es decir, n es impar.

Demostración por Inducción

La inducción es un modo de razonar que conduce al descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de casos particulares.

Ejemplo:

¿A qué es igual la suma de los n primeros números impares?

Para responder, buscamos casos particulares:

Para n = 2: 1 + 3 = 4 = 2²

Para n = 3: 1 + 3 + 5 = 9 = 3²

Para n = 4: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

A la vista de estos casos particulares, la inducción sugiere la siguiente ley general:

La suma de los n primeros números impares es n²

Hemos descubierto un resultado interesante, pero el razonamiento que nos ha llevado a él es plausible, experimental. Falta confirmar dicho resultado mediante una demostración rigurosa, que en este caso sería la demostración por inducción matemática.

Demostración por Inducción Matemática

Este tipo de demostración se emplea cuando se quiere probar que una afirmación o igualdad matemática la verifica cualquier número natural.

Consiste en:

1. Probar que la igualdad se verifica para el número 1.
2. Suponiendo que la igualdad se verifica para un número natural cualquiera k, demostrar que se verifica para el siguiente k+1.