Métodos Esenciales de Álgebra Lineal: Procedimientos para Sistemas, Matrices y Diagonalización

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Procedimientos Clave

Nota sobre parámetros y variables comunes: Se utilizan las letras griegas $\alpha$ (alfa), $\lambda$ (lambda, en el original $\gamma$) y $\beta$ (beta) para representar parámetros o autovalores según el contexto.

1. Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

A) Sistemas con Parámetros

1. Comprobar el rango de la matriz de coeficientes ($A$).
2. Determinar los valores del parámetro que hacen que el determinante de la matriz de coeficientes sea cero ($|A|=0$).
3. Construir la matriz ampliada ($A^*$) utilizando los valores encontrados en el paso anterior.
4. Determinar el rango de $A$ y $A^*$ para cada valor, clasificando el sistema (Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible).

B) Sistemas sin Parámetros (Método de Cramer o Gauss)

1. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes ($|A|$).
2. Si $|A|=0$, se debe comprobar el rango de la matriz de coeficientes y la ampliada (usando el método de Gauss, por ejemplo).
3. Si $|A| \neq 0$, la única solución es la solución trivial ($x=y=z=0$).
4. Si al resolver por Gauss se obtiene una fila de ceros y se introduce un parámetro (ej: $z=\lambda$), el sistema es Compatible Indeterminado (SCI).

Interpretación de Filas Nulas en la Matriz Ampliada:

• $(0 \ 0 \ 0 \ 0)$: Sistema Compatible Indeterminado (SCI).
• $(0 \ 0 \ 0 \ n)$, donde $n \neq 0$: Sistema Incompatible (SI).
• $(0 \ 0 \ n \ m)$, donde $n \neq 0$: Sistema Compatible Determinado (SCD), independientemente de si $m=0$ o $m \neq 0$.

2. Cálculo de la Matriz Inversa ($A^{-1}$)

1. Hallar el determinante de la matriz ($|A|$). Debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$) para que exista la inversa.
2. Calcular la matriz traspuesta ($A^T$) (intercambiando filas por columnas).
3. Calcular la matriz de adjuntos (o cofactores). Se aplica la regla de los signos (cambiar el signo a las posiciones impares $i+j$).
4. Dividir cada elemento de la matriz de adjuntos entre el determinante $|A|$.

3. Diagonalización de Matrices

1. Calcular la matriz característica: $A - \lambda I$ (donde $I$ es la matriz identidad y $\lambda$ es el autovalor).
2. Calcular el determinante de la matriz característica: $|A - \lambda I|$.
3. Igualar el polinomio característico resultante a cero para encontrar los autovalores ($\lambda$): $|A - \lambda I| = 0$.

A) Autovalores Repetidos

Si algún autovalor ($\lambda$) se repite (multiplicidad algebraica $m_a > 1$):

1. Calcular el autoespacio asociado a ese autovalor y reducir la matriz por el método de Gauss.
2. Se comprueba la condición de diagonalización: La multiplicidad algebraica ($m_a$, veces que se repite $\lambda$) debe ser igual a la multiplicidad geométrica ($m_g$, número de parámetros necesarios para definir el autoespacio). Si $m_a = m_g$, la matriz es diagonalizable.

B) Construcción de la Matriz Diagonal ($D$)

Si la matriz es diagonalizable (ya sea porque todos los autovalores son distintos o porque se cumple la condición $m_a = m_g$):

1. Calcular los autovectores ($v_x$) para cada autovalor distinto, resolviendo el sistema $(A - \lambda I)v = 0$.
2. Cada autovalor proporciona uno o más autovectores (sustituyendo los parámetros por 1 y los demás por 0).
3. Construir la matriz de paso ($P$) colocando los autovectores en columnas.
4. Calcular la matriz inversa de $P$ ($P^{-1}$).
5. La matriz diagonal $D$ se obtiene mediante la transformación de semejanza: $D = P^{-1} A P$. La matriz $D$ estará formada por los autovalores en la diagonal principal y ceros en el resto.

4. Propiedades de Vectores y Subespacios

Vectores Cuadrados: Independencia Lineal

Para saber si un conjunto de vectores cuadrados es linealmente libre o ligado:

• Si el determinante formado por los vectores (colocados como filas o columnas) es 0, los vectores son linealmente ligados (dependientes).
• Si el determinante es distinto de 0, son linealmente libres (independientes).

Vectores No Cuadrados: Demostración de Independencia

Para demostrar la independencia lineal de vectores no cuadrados:

1. Se debe cumplir que sean linealmente libres y que el número de vectores sea igual al número de coordenadas (dimensión del espacio).
2. Se plantea la combinación lineal nula: $\alpha(v_1) + \beta(v_2) + \dots = (0, 0, \dots)$. Ejemplo: $\alpha(1, 2) + \beta(3, 5) = (0, 0)$.

(Si se desea verificar si un vector es combinación lineal de otros, se realiza el mismo procedimiento, pero igualando la combinación lineal al vector dado y no al vector nulo).

Cálculo de Base y Dimensión de un Subespacio Vectorial

El subespacio debe cumplir una condición:

1. Poner la condición despejando una variable y expresándola como combinación lineal de las otras variables.
2. La dimensión del subespacio será el número de parámetros libres necesarios para definirlo.
3. La base se obtiene sustituyendo cada parámetro libre por 1 (uno a la vez) y los demás por 0.

5. Aplicaciones Lineales: Matriz Asociada

1. Se proporcionan las imágenes de los vectores de la base (o las funciones de transformación), donde los coeficientes de las variables y los resultados son números.
2. Los coeficientes de las variables de la transformación corresponden a la matriz que multiplicará a la matriz de coordenadas desconocida, y se colocan en columnas.
3. Los valores de los resultados de la transformación se colocan a la derecha del signo igual $(=)$ en columna.
4. Se despeja la matriz de coordenadas interesada y se resuelve la ecuación matricial.