Métodos Esenciales de Factorización de Polinomios y Simplificación de Fracciones Algebraicas

Factorización de Polinomios: Métodos Avanzados

Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción (T.C.P.A.S.)

Este método se aplica cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto, pero puede transformarse en uno mediante la suma y resta de un término adecuado.

Ejemplo Resuelto: Factorizar x⁴ + 3x² + 4

1. Expresión inicial: x⁴ + 3x² + 4
2. Ajuste para T.C.P.: Se suma y se resta x² para obtener el término central necesario (4x²):

   x⁴ + 3x² + 4 + x² - x²

3. Asociación conveniente:

   (x⁴ + 4x² + 4) - x²

4. Factorización del Trinomio Cuadrado Perfecto:

   (x² + 2)² - x²

5. Factorización de la Diferencia de Cuadrados: Se aplica la regla a² - b² = (a+b)(a-b):

   [(x² + 2) + x] [(x² + 2) - x]

6. Eliminación de signos de agrupación y ordenamiento:

   (x² + x + 2) (x² - x + 2)

Resultado Final: x⁴ + 3x² + 4 = (x² + x + 2) (x² - x + 2)

Factorización del Trinomio de la Forma x² + bx + c

El trinomio se descompone en dos factores binomios siguiendo estas reglas:

1. El primer término de cada binomio es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (x).
2. Se buscan dos números que, sumados algebraicamente, den como resultado el coeficiente del segundo término (b), y multiplicados, den el tercer término (c).

Ejemplos:

• x² + 10x + 24 = (x+6)(x+4)
• a² - 2a - 24 = (a-6)(a+4)

Factorización del Trinomio de la Forma ax² + bx + c

Este método es aplicable para cualquier coeficiente 'a'. Si un trinomio no puede ser factorizado usando números enteros, se le denomina trinomio primo.

Ejemplo Resuelto: Factorizar 15x⁴ - 23x² + 4

Para aplicar el método, multiplicamos y dividimos toda la expresión por el coeficiente principal (15). Note que tratamos x² como la variable principal:

1. Multiplicar y dividir por 15:

   $$\frac{15(15x^4 - 23x^2 + 4)}{15}$$

2. Reescribir el numerador:

   $$\frac{(15x^2)^2 - 23(15x^2) + 60}{15}$$

3. Factorizar el numerador: Buscamos dos números que multipliquen 60 y sumen -23 (estos son -20 y -3):

   $$\frac{(15x^2 - 20)(15x^2 - 3)}{15}$$

4. Extraer factor común de los binomios:

   $$\frac{5(3x^2 - 4) \cdot 3(5x^2 - 1)}{15}$$

5. Simplificar: Se cancela $5 \cdot 3 = 15$ con el denominador:

   (3x² - 4)(5x² - 1)

Resultado Final: 15x⁴ - 23x² + 4 = (3x² - 4)(5x² - 1)

Operaciones con Fracciones Algebraicas

Definición y Simplificación

Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio nulo, llamamos fracción algebraica a toda expresión de la forma P(x)/Q(x).

Para simplificar fracciones algebraicas, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Factorizar completamente el numerador y el denominador.
2. Simplificar los factores comunes.

La fracción algebraica así obtenida es equivalente a la de partida.

Conceptos Clave en Fracciones Algebraicas

• Equivalencia: Dos fracciones son equivalentes si el producto cruzado de sus términos es igual.

  Ejemplo: (x+2) · (x− 2) = x² − 4 (equivalente)

• Simplificación: Reducción de la fracción a su mínima expresión.

  

• Amplificación: Multiplicación del numerador y denominador por el mismo factor.