Métodos de Evaluación de Proyectos de Inversión: VAN, TIR y Payback

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Escrito el 25 de Junio de 2025 en español con un tamaño de 14,57 KB

Conceptos Fundamentales de Evaluación de Proyectos

Criterios de Rentabilidad

Criterio de Flujo Neto de Caja por Unidad Monetaria Invertida (r'):
r' = ∑Qh / A
Criterio de Flujo Neto de Caja Medio por Unidad Monetaria Invertida (rm):
rm = (∑Qh / n) / A
Payback (Plazo de Recuperación) Simple:
Payback = A / Q
Criterio de la Tasa de Rendimiento Contable (r.conta):
r.conta = (∑Beneficios / n) / A

Métodos de Aproximación para la Tasa Interna de Retorno (TIR)

Estos métodos buscan estimar la TIR cuando la ecuación no es fácilmente resoluble de forma directa.

Método KD:
KD = ((Q1 + Q2 + ... + Qn) / A)^{(∑Qh / (Q1*1 + Q2*2 + ...))} - 1
Método KE:
KE = ((Q1 + Q2 + ... + Qn) / A)^{((Q1/1 + Q2/2 + ...) / (Q1 + Q2 + ...))} - 1

Ejemplos Prácticos de Evaluación de Inversiones

Caso 1: Proyecto de Inversión en Maquinaria con Valor Residual

Consideramos un proyecto de inversión para la adquisición de una maquinaria con un desembolso inicial de -19600 y los siguientes flujos de caja:

Año 1: 8200
Año 2: 7700
Año 3: 7200

Valores residuales al final de cada año (si se vendiera la maquinaria):

Final del 1er año: 12000
Final del 2º año: 7500
Final del 3er año: No tiene valor residual.

Nota: Los cálculos presentados parecen evaluar el VAN en diferentes momentos, incluyendo el valor residual en el flujo del año correspondiente. Se asume una tasa de descuento del 10% (1.10).

Cálculo al final del 1er año:
-19600 + ((8200 + 12000) / 1.10) = -19600 + (20200 / 1.10) = -1236.36
Cálculo al final del 2º año:
-19600 + (8200 / 1.10) + ((7700 + 7500) / 1.10²) = -19600 + (8200 / 1.10) + (15200 / 1.10²) = 416.53
Cálculo al final del 3er año:
-19600 + (8200 / 1.10) + (7700 / 1.10²) + (7200 / 1.10³) = -372.34

Caso 2: Cálculo del Payback Descontado con Flujos Constantes

Una inversión tiene un desembolso inicial de 3000 con flujos de caja constantes de 1000 y una tasa de descuento del 7%. Calcular en cuánto tiempo se recuperaría la inversión.

Fórmula del Payback Descontado para flujos constantes: A = Q * ((1 - (1+i)^-p) / i)

Sustitución de valores:
3000 = 1000 * ((1 - (1.07)^-p) / 0.07)
Despejando:
(3000 * 0.07) / 1000 = 1 - (1.07)^-p
0.21 = 1 - (1.07)^-p
(1.07)^-p = 1 - 0.21 = 0.79
Aplicando logaritmos:
log(0.79) = -p * log(1.07)
-p = log(0.79) / log(1.07)
-p = -0.102372908 / 0.029383777
-p = -3.483994
p = 3.483994 años
Conversión a años, meses y días:
- Años completos: 3
- Meses: 0.483994 * 12 = 5.807928 (aproximadamente 5 meses)
- Días: 0.807928 * 30 = 24.23784 (aproximadamente 24 días)

Resultado: La inversión se recuperaría en 3 años, 5 meses y 24 días.

Caso 3: Cálculo del Plazo de Recuperación Actualizado (Payback Descontado) con Flujos No Constantes

La fórmula para actualizar flujos es: Co = Cn * (1+i)^-n, donde Co es el valor actual, Cn el flujo en el periodo n, e i la tasa de descuento.

Calcular el plazo de recuperación actualizado para las siguientes inversiones (asumiendo una tasa de descuento del 10%):

Proyecto 1: Desembolso inicial = 1000. Flujos: 500 (Año 1), 500 (Año 2), 2000 (Año 3), 5000 (Año 4), 0 (Año 5).
Proyecto 2: Desembolso inicial = 1000. Flujos: 1000 (Año 1), 100 (Año 2), 0 (Año 3), 0 (Año 4), 10 (Año 5).

Proyecto 1:

Actualización de flujos:
- Año 1: 500 * (1.10)^-1 = 454.55
- Año 2: 500 * (1.10)^-2 = 413.22
- Año 3: 2000 * (1.10)^-3 = 1502.63
Suma acumulada de flujos actualizados:
- Año 1: 454.55
- Año 2: 454.55 + 413.22 = 867.77
Inversión restante a recuperar después del Año 2:
1000 (Desembolso inicial) - 867.77 = 132.23
Tiempo adicional en el Año 3 para recuperar el resto:
(132.23 / 1502.63) * 12 meses ≈ 1.05 meses

Plazo de Recuperación Proyecto 1: 2 años y 1.05 meses.

Proyecto 2:

Actualización de flujos:
- Año 1: 1000 * (1.10)^-1 = 909.09
- Año 2: 100 * (1.10)^-2 = 82.64
Suma acumulada de flujos actualizados:
- Año 1: 909.09
- Año 2: 909.09 + 82.64 = 991.73
Inversión restante a recuperar después del Año 2:
1000 (Desembolso inicial) - 991.73 = 8.27

Conclusión Proyecto 2: Dado que los flujos de caja de los años siguientes son cero (excepto un pequeño flujo en el año 5), la inversión no se recupera completamente con los flujos positivos significativos. Por lo tanto, este proyecto no sería rentable bajo este criterio.

Cálculo de la Tasa Interna de Retorno (TIR) mediante Ecuación Cuadrática

La TIR es la tasa de descuento que hace que el VAN de un proyecto sea igual a cero. Para flujos de caja específicos, puede requerir la resolución de una ecuación cuadrática.

Fórmula general para ecuaciones cuadráticas (ax² + bx + c = 0):

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Caso 4: Comparación de Proyectos de Inversión (VAN y TIR)

Una empresa debe decidir entre dos proyectos de inversión, considerando un coste de capital del 6%.

Proyecto A:

Desembolso inicial: 1000
Cobros anuales: 800
Pagos anuales: 400
Valor residual: 100 (al final de la duración)
Duración: 4 años

Proyecto B:

Coste de adquisición: 10000
Costes Fijos anuales: 5000
Costes Variables unitarios: 10
Duración: 3 años
Volumen anual: Año 1 = 700 unidades, Año 2 = 900 unidades, Año 3 = 1100 unidades.
Asunción: Precio de venta unitario = 25 (inferido de los cálculos originales).

a) Diagrama Temporal de Flujos de Caja

Proyecto A:

Flujo de caja anual (Año 1-3): 800 (Cobros) - 400 (Pagos) = 400
Flujo de caja Año 4: 400 (Flujo anual) + 100 (Valor residual) = 500

Flujos de Caja Proyecto A: -1000 (inicial), 400 (Año 1), 400 (Año 2), 400 (Año 3), 500 (Año 4).

Proyecto B:

Costes Variables Totales:
- Año 1: 700 unidades * 10 = 7000
- Año 2: 900 unidades * 10 = 9000
- Año 3: 1100 unidades * 10 = 11000
Ingresos Totales (asumiendo precio de venta 25):
- Año 1: 700 unidades * 25 = 17500
- Año 2: 900 unidades * 25 = 22500
- Año 3: 1100 unidades * 25 = 27500
Flujos de Caja Netos (Ingresos - Costes Fijos - Costes Variables):
- Año 1: 17500 - 5000 - 7000 = 5500
- Año 2: 22500 - 5000 - 9000 = 8500
- Año 3: 27500 - 5000 - 11000 = 11500

Flujos de Caja Proyecto B: -10000 (inicial), 5500 (Año 1), 8500 (Año 2), 11500 (Año 3).

b) Selección de la Mejor Inversión (Coste de Capital = 6%)

Valor Actual Neto (VAN):

VAN Proyecto A:
-1000 + (400 / 1.06) + (400 / 1.06²) + (400 / 1.06³) + (500 / 1.06⁴) = 465.26
VAN Proyecto B:
-10000 + (5500 / 1.06) + (8500 / 1.06²) + (11500 / 1.06³) = 12409.27

Decisión por VAN: El Proyecto B tiene un VAN significativamente mayor (12409.27) que el Proyecto A (465.26), por lo que el Proyecto B sería la mejor inversión según este criterio.

Tasa Interna de Retorno (TIR) - Métodos de Aproximación:

TIR Proyecto A:
- KD = ((400+400+400+500)/1000)^(1700/4400) - 1 = 0.227544043 (22.75%)
- KE = (1700/1000)^{(858.33/1700)} - 1 = 0.307234979 (30.72%)
- Media de TIRs aproximadas: (0.227544043 + 0.307234979) / 2 = 0.2673895 (26.74%)
- VAN calculado con TIR aproximada (KD): 27.75 (Valor original, se asume que es el VAN calculado con la TIR KD)
- VAN calculado con TIR aproximada (KE): -45.09 (Valor original, se asume que es el VAN calculado con la TIR KE)
TIR Proyecto B:
- KD = 0.5201030778 (52.01%)
- KE = 0.646477184 (64.65%)
- Media de TIRs aproximadas: (0.5201030778 + 0.646477184) / 2 = 0.5835901309 (58.36%)
- VAN calculado con TIR aproximada (KD): 570.69 (Valor original)
- VAN calculado con TIR aproximada (KE): -241.59 (Valor original)

Decisión por TIR: El Proyecto B tiene una TIR media aproximada (58.36%) significativamente mayor que la del Proyecto A (26.74%), lo que también lo convierte en la opción preferente.

Caso 5: Elección entre Proyectos con Diferentes Costes de Capital y Tasa de Fisher

Una empresa con 500000 debe elegir entre dos proyectos:

Alternativa A: Desembolso inicial = 100000. Flujo de caja = 125000 (al final del periodo 1).
Alternativa B: Desembolso inicial = 500000. Flujo de caja = 550000 (al final del periodo 1).

a) Si la tasa de descuento (i) es 8%, ¿cuál elegirá?

VAN Alternativa A:
-100000 + (125000 / 1.08) = 15740.74
VAN Alternativa B:
-500000 + (550000 / 1.08) = 9259.26

Decisión: Elegir la Alternativa A, ya que presenta un VAN mayor (15740.74) que la Alternativa B (9259.26).

b) ¿Qué ocurrirá si el coste de capital fuese 20% anual? ¿Cuál elegirá?

VAN Alternativa A:
-100000 + (125000 / 1.20) = 4166.67
VAN Alternativa B:
-500000 + (550000 / 1.20) = -41666.67

Decisión: Elegir la Alternativa A, ya que es la única que sigue generando un VAN positivo (4166.67), mientras que la Alternativa B resulta en pérdidas.

c) ¿En qué punto coinciden (Tasa de Fisher)?

La Tasa de Fisher es la tasa de descuento a la que los VAN de dos proyectos son iguales.

TIR Alternativa A: (125000 - 100000) / 100000 = 0.25 (25%)
TIR Alternativa B: (550000 - 500000) / 500000 = 0.10 (10%)

Para encontrar la Tasa de Fisher, igualamos los VAN de ambos proyectos:

-100000 + 125000 / (1+i) = -500000 + 550000 / (1+i)

550000 / (1+i) - 125000 / (1+i) = 500000 - 100000

425000 / (1+i) = 400000

1+i = 425000 / 400000

1+i = 1.0625

i = 0.0625

Tasa de Fisher: 6.25%.

Caso 6: Proyecto de Panadería sin Gluten (VAN y TIR)

Una joven emprendedora planea abrir una panadería especializada en pan sin gluten. Se requiere calcular el VAN y la TIR.

Desembolso inicial (A): 200000
Flujos de caja netos anuales (Ingresos - Costes - Impuestos - Otros):
- Año 1: 30000 - 3000 - 20000 - 1900 = 5100
- Año 2: 36000 - 3600 - 21000 - 1900 = 9500
- Año 3: 43200 - 4320 - 22050 - 1900 = 14930
- Año 4: 51840 - 5184 - 23152.5 - 1900 = 21603.5
Tasa de descuento asumida (inferida del cálculo del VAN): 7.6% (1.076)

Cálculo del Valor Actual Neto (VAN):

VAN = -200000 + (5100 / 1.076) + (9500 / 1.076²) + (14930 / 1.076³) + (21603.5 / 1.076⁴) = -159953.59

Conclusión VAN: El VAN es negativo (-159953.59), lo que indica que el proyecto no es rentable a la tasa de descuento del 7.6%.

Cálculo de la Tasa Interna de Retorno (TIR) - Métodos de Aproximación:

Nota: Los valores intermedios para KD y KE no son explícitos en el texto original, solo los resultados finales.

KD = (51133.5 / 200000)^{(51133.5 / 155304)} - 1 = -36.18%
KE = (51133.5 / 200000)^{(20227.54 / 5133.5)} - 1 = -41.70%
Media de TIRs aproximadas: (-0.3618 + -0.4170) / 2 = -0.3894 (-38.94%)

Conclusión TIR: Las TIRs aproximadas son negativas, lo que confirma que el proyecto no es viable.

Cálculo del Desembolso Inicial para VAN=0 (Punto de Equilibrio):

Este cálculo determina cuál debería ser el desembolso inicial máximo para que el proyecto sea rentable (VAN=0) con los flujos de caja proyectados y la tasa de descuento del 7.6%.

0 = -A + (5100 / 1.076) + (9500 / 1.076²) + (14930 / 1.076³) + (21603.5 / 1.076⁴)

A = 41046.41

Conclusión: Para que el proyecto fuera rentable, el desembolso inicial no debería exceder los 41046.41, lo cual es significativamente menor que los 200000 propuestos.

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