Métodos de Factorización de Polinomios y Cálculo de Raíces

Clasificado en Matemáticas

Escrito el 11 de Septiembre de 2025 en español con un tamaño de 9,13 KB

Sacar Factor Común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces:

1. x³ + x² = x² (x + 1)
Las raíces son: x = 0 y x = -1.
2. 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)
Solo tiene una raíz, x = 0, ya que el polinomio x² + 2 no tiene ningún valor real que lo anule. Esto se debe a que, al estar la x al cuadrado, siempre resultará un número positivo; por lo tanto, es irreducible en los números reales.
3. x² - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a) = (x - a) · (x - b)
Las raíces son x = a y x = b.

Diferencia de Cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.

a² - b² = (a + b) · (a - b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces:

1. x² - 4 = (x + 2) · (x - 2)
Las raíces son x = -2 y x = 2.
2. x⁴ - 16 = (x² + 4) · (x² - 4) =
= (x + 2) · (x - 2) · (x² + 4)
Las raíces son x = -2 y x = 2.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces:

1.
La raíz es x = -3, y se dice que es una raíz doble.
2.
La raíz es x = 2.

Trinomio de Segundo Grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax² + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de segundo grado. Si las soluciones de la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

ax² + bx + c = a · (x - x₁) · (x - x₂)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces:

1.
Las raíces son x = 3 y x = 2.
2.
Las raíces son x = 3 y x = -2.

Trinomios de Cuarto Grado de Exponentes Pares

Para hallar las raíces, se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

Ejemplos

1. x⁴ - 10x² + 9
x² = t
x⁴ - 10x² + 9 = 0
t² - 10t + 9 = 0
x⁴ - 10x² + 9 = (x + 1) · (x - 1) · (x + 3) · (x - 3)
2. x⁴ - 2x² - 3
x² = t
t² - 2t - 3 = 0
x⁴ - 2x² - 3 = (x² + 1) · (x + ) · (x - )

Factorización de un Polinomio de Grado Superior a Dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el siguiente polinomio:

P(x) = 2x⁴ + x³ - 8x² - x + 6

Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
Aplicando el teorema del resto, sabremos para qué valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ - 8 · 1² - 1 + 6 = 2 + 1 - 8 - 1 + 6 = 0
Dividimos por Ruffini.
Por ser la división exacta, D = d · c
(x - 1) · (2x³ + 3x² - 5x - 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos aplicando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar con 1, ya que el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² - 5 · 1 - 6 ≠ 0
P(-1) = 2 · (-1)³ + 3 · (-1)² - 5 · (-1) - 6 = -2 + 3 + 5 - 6 = 0
(x - 1) · (x + 1) · (2x² + x - 6)
Otra raíz es x = -1.
El tercer factor se puede encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o, como hemos venido haciendo, aunque este último método solo permite encontrar raíces enteras.
Descartamos el 1 y seguimos probando con -1.
P(-1) = 2 · (-1)² + (-1) - 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 2² + 2 - 6 ≠ 0
P(-2) = 2 · (-2)² + (-2) - 6 = 2 · 4 - 2 - 6 = 0
(x - 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x - 3)
Sacamos factor común 2 en el último binomio y encontramos una raíz racional.
2x - 3 = 2 (x - 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x⁴ + x³ - 8x² - x + 6 = 2 (x - 1) · (x + 1) · (x + 2) · (x - 3/2)
Las raíces son: x = 1, x = -1, x = -2 y x = 3/2.

Raíces Racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y solo tenga raíces racionales.

En este caso, tomamos los divisores del término independiente divididos entre los divisores del coeficiente principal (término con mayor grado), y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x³ + 8x² - 3x - 2

Probamos con los siguientes valores: divisores .