Métodos Numéricos para Hallar Raíces de Ecuaciones

**3. Método de Interpolación Lineal**

Consideremos un subintervalo de separación (x₁; x₂), donde ƒ(x₁) y ƒ(x₂) tienen signos opuestos y ƒ(x) es monótona. Entonces, ƒ(x) tendrá una raíz en este subintervalo.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁ y P₂ es:

Para hallar la intersección con el eje de las abscisas, hacemos y=0, obteniendo x=x₃, que está más cerca del verdadero valor de la raíz.

Resulta:

Despejando x₃:

Utilizamos este valor para calcular y₃=ƒ(x₃). Luego, comparamos los signos de ƒ(x₁) y ƒ(x₂), tomando aquel que satisface sg ƒ(x_k) ≠ sg ƒ(x₃), formando un nuevo subintervalo con x_k y x₃. Repetimos este procedimiento, obteniendo nuevos subintervalos cada vez más pequeños, hasta que dos valores consecutivos de x difieran en menos de un cierto valor E>0 arbitrario, o mejor aún, cuando ƒ(x)≅ 0. Este método también se conoce como **MÉTODO DE LAS PARTES PROPORCIONALES**.

Convergencia del Método de Interpolación Lineal

Para que el método sea convergente, debe satisfacer las siguientes condiciones en los extremos del subintervalo de separación:

1. ƒ(x₁).ƒ(x₂) < 0
2. ƒ’(x) ≠ 0 para todo x perteneciente a (x₁; x₂)
3. ƒ(x) debe ser monótona para todo punto de (x₁; x₂)

Este algoritmo converge más rápidamente a la solución que el método de tanteos.

**4. Método de Newton-Raphson**

Supongamos que x es una primera aproximación al valor de una raíz, que puede ser uno de los extremos del intervalo cerrado de separación [a; b]. Si dibujamos una recta tangente a la curva en el punto x=x_n, interceptará al eje de abscisas en el punto x=x_n+1, que constituye una aproximación mejorada de la raíz r. La pendiente de la recta tangente a la curva es:

Obtenemos una mejor aproximación x_n+1 de la raíz, donde los valores ƒ(x_n) y ƒ’(x_n) se conocen. Repetimos el procedimiento, partiendo del nuevo valor y obteniendo mejores aproximaciones, hasta que dos valores sucesivos de x difieran en menos de E. |x_n+1-x_n|≤E

Convergencia

Fourier estableció que el procedimiento de N-R debe aplicarse en caso de que f(x_n) y f''(x_n) tengan igual signo. De no ser así, es divergente (gráfica).

Teorema

Una función ƒ(x)=0, definida, monótona, dos veces derivable y con derivadas continuas en el intervalo (a; b), que satisface las siguientes condiciones:

1. ƒ(a).ƒ(b) < 0
2. ƒ’(x) ≠ 0 para toda x comprendida en (a; b)
3. ƒ(x₀).ƒ’’(x₀) > 0 con x comprendida en (a; b)

y tomando x₀ como primera aproximación de la raíz r, entonces el método de NEWTON-RAPHSON converge a la única solución r de ƒ(x)=0.

Error en el Método de Newton-Raphson

Con este método se puede cometer un error absoluto E|r>
resulta: