Métodos de Resolución: Progresiones Aritméticas, Geométricas y Ecuaciones Exponenciales

Progresiones Geométricas (PG)

Cálculo de Términos y Suma

Problema: El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica es 27 veces el primer término ($a_1$). Si la suma de los primeros cuatro términos ($S_4$) es 360° (asumiendo que representan los ángulos de un cuadrilátero), determine el primer término.

Datos y Fórmulas

• Relación: $a_4 = 27 \cdot a_1$
• Fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
• Fórmula de la suma: $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r-1}$

Desarrollo

1. Cálculo de la razón ($r$):

$$a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} \implies 27 a_1 = a_1 \cdot r^3$$

$$27 = r^3 \implies \mathbf{r = 3}$$

2. Cálculo del primer término ($a_1$) usando la suma $S_4 = 360$:

$$S_4 = \frac{a_4 \cdot r - a_1}{r-1} \implies 360 = \frac{(27 a_1) \cdot 3 - a_1}{3-1}$$

$$360 = \frac{81 a_1 - a_1}{2}$$

$$720 = 80 a_1$$

$$a_1 = \frac{720}{80} \implies \mathbf{a_1 = 9}$$

Progresiones Aritméticas (PA)

Determinación del Primer Término y la Diferencia

Problema 1: Hallar el primer término ($a_1$) y la diferencia ($d$) de una Progresión Aritmética (PA) sabiendo que $a_3 = 24$ y $a_{10} = 66$.

Sistema de Ecuaciones

Utilizamos la fórmula del término general $a_n = a_1 + (n-1)d$:

1. $a_3$: $24 = a_1 + 2d$ (Ecuación 1)
2. $a_{10}$: $66 = a_1 + 9d$ (Ecuación 2)

Resolución por Reducción

Restamos (Ecuación 1) de (Ecuación 2):

  66 = a₁ + 9d
- (24 = a₁ + 2d)
-----------------
  42 = 7d

$$d = \frac{42}{7} \implies \mathbf{d = 6}$$

Sustituimos $d=6$ en la Ecuación 1:

$$24 = a_1 + 2(6) \implies 24 = a_1 + 12$$

$$a_1 = 24 - 12 \implies \mathbf{a_1 = 12}$$

Cálculo de Términos dada la Suma

Problema 2: La suma de los 11 primeros términos ($S_{11}$) de una PA es 176. Si la diferencia es $d=3$, hallar el primer término ($a_1$) y la secuencia.

Datos y Fórmulas

• $S_{11} = 176$
• $n = 11$
• $d = 3$
• Fórmula de la suma: $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$

Desarrollo

$$176 = \frac{11}{2} [2a_1 + (11-1)3]$$

$$352 = 11 [2a_1 + 30]$$

$$352 = 22a_1 + 330$$

$$22 = 22a_1 \implies \mathbf{a_1 = 1}$$

La secuencia es: $1, 4, 7, 10, \dots, 31$.

Resolución de Ecuaciones Exponenciales

Ecuación Exponencial Simple (Base 3)

Problema 3: Resolver $27 \cdot 3^{x+2} - \frac{1}{3} = 0$.

Desarrollo

1. Aislar el término exponencial: $$27 \cdot 3^{x+2} = \frac{1}{3}$$
2. Expresar todos los términos en base 3: $$3^3 \cdot 3^{x+2} = 3^{-1}$$
3. Aplicar propiedades de potencias: $$3^{3 + x + 2} = 3^{-1}$$ $$3^{x+5} = 3^{-1}$$
4. Igualar exponentes: $$x + 5 = -1$$ $$\mathbf{x = -6}$$

Ecuación Exponencial por Sustitución Cuadrática (Base 5)

Problema 4: Resolver $5^{2x} \cdot 5^{-2} - 6 \cdot 5^x + 125 = 0$.

Desarrollo

1. Reorganizar la ecuación y aplicar sustitución $Y = 5^x$:

$$\frac{(5^x)^2}{25} - 6 \cdot 5^x + 125 = 0$$ $$\frac{Y^2}{25} - 6Y + 125 = 0$$

2. Eliminar el denominador (multiplicar por 25):

$$Y^2 - 150Y + 3125 = 0$$

3. Resolver la ecuación cuadrática por factorización:

$$Y^2 - 25Y - 125Y + 3125 = 0$$ $$Y(Y - 25) - 125(Y - 25) = 0$$ $$(Y - 25)(Y - 125) = 0$$

4. Obtener las soluciones para $Y$:

$$Y_1 = 25 \quad \text{o} \quad Y_2 = 125$$

5. Deshacer la sustitución ($Y = 5^x$):

• Caso 1: $5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies \mathbf{x_1 = 2}$
• Caso 2: $5^x = 125 \implies 5^x = 5^3 \implies \mathbf{x_2 = 3}$

Ecuación Exponencial con Solución Logarítmica (Base 3)

Problema 5: Resolver $3^{x+1} + 3^{2x} - 28 = 0$.

Desarrollo

1. Reorganizar la ecuación y aplicar sustitución $Y = 3^x$:

$$3^x \cdot 3 + (3^x)^2 - 28 = 0$$ $$Y^2 + 3Y - 28 = 0$$

2. Resolver la ecuación cuadrática por factorización:

$$Y^2 + 7Y - 4Y - 28 = 0$$ $$Y(Y + 7) - 4(Y + 7) = 0$$ $$(Y + 7)(Y - 4) = 0$$

3. Obtener las soluciones para $Y$:

$$Y_1 = -7 \quad \text{o} \quad Y_2 = 4$$

4. Deshacer la sustitución ($Y = 3^x$):

• Caso 1: $3^x = -7$. Imposible, ya que la función exponencial es siempre positiva. No pertenece a los números reales (x \notin \mathbb{R}).
• Caso 2: $3^x = 4$. Aplicamos logaritmos: $$x = \log_3(4)$$ $$x = \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \approx \mathbf{1.26186}$$