Métodos de Runge-Kutta: Soluciones Precisas para Ecuaciones Diferenciales

Los métodos de Runge-Kutta ofrecen una forma de obtener la precisión de un procedimiento de serie de Taylor sin necesidad de calcular derivadas de orden superior. Estos métodos se basan en la idea de aproximar la solución de una ecuación diferencial mediante una combinación ponderada de pendientes en diferentes puntos del intervalo.

La forma general de un método de Runge-Kutta es:

y_i+1 = y_i + φ(x_i, y_i, h)h

Donde φ(x_i, y_i, h) se conoce como la función incremento, que representa una pendiente ponderada en el intervalo.

La función incremento se puede expresar como:

φ = a₁k₁ + a₂k₂ + ... + a_nk_n

Donde las a son constantes y las k representan evaluaciones funcionales de la forma:

• k₁ = f(x_i, y_i)
• k₂ = f(x_i + p₁h, y_i + q₁₁k₁h)
• ...

El orden del método de Runge-Kutta se determina por el número de términos (n) en la función incremento. Cuando n = 1, se obtiene el método de Euler.

Métodos de Runge-Kutta de Segundo Orden

La versión de segundo orden del método es:

y_i+1 = y_i + (a₁k₁ + a₂k₂)h

donde:

• k₁ = f(x_i, y_i)
• k₂ = f(x_i + p₁h, y_i + q₁₁k₁h)

Para determinar los valores de a₁, a₂, p₁, y q₁₁, se iguala la ecuación anterior a la expansión de la serie de Taylor hasta el término de segundo orden. Esto resulta en un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas:

• a₁ + a₂ = 1
• a₂p₁ = 1/2
• a₂q₁₁ = 1/2

Métodos de Runge-Kutta de Tercer Orden

Para n = 3, se obtiene un sistema de seis ecuaciones con ocho incógnitas. Una versión comúnmente utilizada es:

y_i+1 = y_i + (1/6)(k₁ + 4k₂ + k₃)h

donde:

• k₁ = f(x_i, y_i)
• k₂ = f(x_i + h/2, y_i + k₁h/2)
• k₃ = f(x_i + h, y_i - k₁h + 2k₂h)

Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden (RK4)

El método de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4) es uno de los métodos más populares y precisos. Se define por la siguiente ecuación:

y_n+1 = y_n + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)h

donde:

• k₁ es la pendiente al principio del intervalo.
• k₂ es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k₁ para estimar el valor de y.
• k₃ es la pendiente en el punto medio, usando k₂ para estimar el valor de y.
• k₄ es la pendiente al final del intervalo, usando k₃ para estimar el valor de y.

Se calcula k₁, k₂, k₃ y k₄ de la siguiente forma:

• k₁ = f(x_n, y_n)
• k₂ = f(x_n + h/2, y_n + k₁h/2)
• k₃ = f(x_n + h/2, y_n + k₂h/2)
• k₄ = f(x_n + h, y_n + k₃h)

Al promediar las cuatro pendientes, se da mayor peso a las pendientes en el punto medio. Este método tiene un error local de truncamiento del orden de O(h⁵) y un error global del orden de O(h⁴).