Modelado ANOVA en R para Optimización de Duración de Materiales: Un Estudio de Factores Experimentales

Modelo Estadístico de Duración

El modelo estadístico propuesto para la duración (en horas) de los materiales, considerando los factores de tipo de material, temperatura y lote, se expresa como:

Y_ijk = μ + α_i + β_j + (αβ)_ij + ω_k + ε_ijk

Definición de Términos del Modelo

• Y_ijk: Tiempo de duración en horas registrado cuando se utiliza el i-ésimo tipo de material, la j-ésima temperatura y el k-ésimo lote.
• μ: Media global del tiempo de duración.
• α_i: Efecto del i-ésimo tipo de material.
• β_j: Efecto de la j-ésima temperatura.
• (αβ)_ij: Efecto de la interacción entre el i-ésimo tipo de material y la j-ésima temperatura.
• ω_k: Efecto del k-ésimo lote.
• ε_ijk: Efecto del error experimental cuando se utiliza el i-ésimo tipo de material, la j-ésima temperatura y el k-ésimo lote.

Preparación y Visualización de Datos en R

Los datos se cargan y se preparan en R, definiendo las variables categóricas (factores) para el análisis.

datos <- read.delim("clipboard")
names(datos)
lote <- factor(datos[,1])
lote
tipo <- factor(datos[,2])
tipo
temperatura <- factor(datos[,3])
temperatura
tiempo <- datos[,4]

Gráficas de Interacción

Para visualizar la posible interacción entre los factores, se generan gráficas de interacción.

par(mfrow=c(1,2))
interaction.plot(tipo, temperatura, tiempo)
interaction.plot(temperatura, tipo, tiempo)

Observación: Según las gráficas, existe una interacción aparente entre los factores tipo y temperatura.

Pruebas de Hipótesis y Resultados del Modelo ANOVA

H3.1. Prueba de Interacción entre Tipo y Temperatura

La primera hipótesis a evaluar es con respecto a la interacción entre el tipo de material y la temperatura.

• H₀: (αβ)_ij = 0, para todo i, j (No existe interacción entre el tipo de material y la temperatura).
• H₁: (αβ)_ij ≠ 0, para al menos un i, j (Existe interacción entre el tipo de material y la temperatura).

Nivel de significancia: α = 0.05

Para este análisis, se consideran i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3.

mod1 <- lm(tiempo ~ lote + tipo + temperatura + tipo*temperatura)
summary(aov(mod1))

Resultado: El p-value obtenido es 1.47 * 10^-10.

Decisión: Dado que p-value = 1.47 * 10^-10 < 0.05, se rechaza H₀.

Conclusión: A un nivel de significancia del 0.05, existe evidencia estadística para concluir que hay una interacción significativa entre el tipo de material y la temperatura en la duración del producto.

H3.2. Prueba de Normalidad de los Errores (Shapiro-Wilk)

Se evalúa si los errores del modelo siguen una distribución normal.

• H₀: Los errores tienen una distribución normal.
• H₁: Los errores no tienen una distribución normal.

Nivel de significancia: α = 0.05

shapiro.test(rstandard(mod1))

Resultado: El p-value obtenido es 0.2767.

Decisión: Dado que p-value = 0.2767 > 0.05, no se rechaza H₀.

Conclusión: A un nivel de significancia del 0.05, los errores del modelo tienen una distribución normal.

H3.3. Prueba de Homocedasticidad (Varianza Constante de los Errores)

Se verifica si la varianza de los errores es constante (homocedasticidad).

• H₀: La varianza del error es constante.
• H₁: La varianza del error no es constante.

Nivel de significancia: α = 0.05

library(car)
ncvTest(mod1)

Resultado: El p-value obtenido es 0.833.

Decisión: Dado que p-value = 0.833 > 0.05, no se rechaza H₀.

Conclusión: A un nivel de significancia del 0.05, la varianza del error es constante, lo que valida el supuesto de homocedasticidad.

H3.4. Análisis Adicional y Conclusiones Específicas

Se realizan cálculos adicionales, posiblemente para comparaciones post-hoc o para evaluar efectos específicos bajo ciertas condiciones.

qf(0.95, 2, 24)

Conclusión Específica (Ab1):

Con un nivel de significancia de 0.05, se rechaza la H₀. Por lo tanto, se concluye que al menos uno de los tipos de batería produce un promedio de tiempo de duración (en horas) distinto a los demás, considerando solo la temperatura de 20°C.

H3.5. Cálculos de Cuantiles para Pruebas t

Se calculan los cuantiles de la distribución t de Student, posiblemente para intervalos de confianza o pruebas t individuales.

qt(0.025, 24)
qt(0.975, 24)

Valor t calculado: t_calculado = 1.4807