Modelado Matemático de Sistemas de Control y Funciones de Transferencia

Función de Transferencia

El primer paso para el análisis y diseño de sistemas de control es el modelado matemático de procesos. La forma clásica de obtener o de modelar un sistema lineal es utilizar la función de transferencia para representar la relación entrada-salida. Una forma de obtener la función de transferencia es utilizar la respuesta al impulso.

Respuesta al Impulso

Se define como la salida de un sistema cuando a la entrada tenemos una función de impulso unitario.

Transformada de Laplace

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se conoce como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, considerando todas las condiciones iniciales iguales a cero.

Representación Matemática

G_(s) = L {g(t)},
G_(s) = Y_(s) / U_(s)

La expresión general se define como:

G_(s) = Y_(s) / U_(s) = (b_mS^m + b_m-1S^m-1 + b_m-2S^m-2 + … + b₁S + b₀) / (Sⁿ + a_n-1S^n-1 + a_n-2S^n-2 + … + a₁S + a₀)

Ecuación Característica de la Función de Transferencia

Para obtener la ecuación característica de la función de transferencia, hay que igualar el polinomio del denominador a cero:

Sⁿ + a_n-1S^n-1 + a_n-2S^n-2 + … + a₁S + a₀ = 0

Clasificación según el Grado del Polinomio

• Función de Transferencia Propia: ocurre si el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador.
• Función de Transferencia Impropia: ocurre si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador.

Propiedades de la Función de Transferencia

1. Las funciones de transferencia están definidas únicamente para sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI).
2. La función de transferencia entre una variable de entrada y una variable de salida se denomina como la transformada de Laplace de la respuesta del impulso unitario con todas las condiciones iniciales iguales a cero; o también, como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.
3. Todas las condiciones iniciales deben ser iguales a cero.
4. La función de transferencia de un sistema es independiente de las entradas.
5. La función de transferencia de un sistema en tiempo continuo es función únicamente de la variable compleja S; no es función de ninguna variable real o del tiempo.
6. La función de transferencia de un sistema en tiempo discreto es función de la variable Z, cuando utilizamos la transformada Z.

Diagramas de Bloques

Los diagramas de bloques son una representación gráfica de la composición e interconexión de los componentes de un sistema.