Modelo logístico de crecimiento poblacional: densodependencia y capacidad de carga

¿Qué ocurre si eliminamos la asunción básica antes citada para el crecimiento exponencial acerca de la constante del parámetro r? Y si lo hacemos, ¿qué puede hacer que r o, mejor dicho, sus componentes b o m puedan variar? Lo más inmediato es pensar en N, la densidad de población como elemento más influyente sobre los parámetros anteriores. La forma en que actuase como control podría ser la siguiente: mayor densidad de población implica menor disponibilidad de recursos (alimento, espacio, etc.) para los individuos y una respuesta en términos de aumento de m, disminución de b o ambas cosas a la vez. En cualquiera de estos casos, lo que estamos diciendo es que r disminuirá con el aumento de N, o lo que es lo mismo, r sería densodependiente. Por lo tanto, suponiendo que:

• "b" o "m" varían con el tiempo • Que N influye sobre las tasas intrínsecas de nacimientos (b) y muertes (m). - Es lógico que si N aumenta los recursos disminuirán, entonces m aumentará y/o b disminuirá. - Decimos que r es densodependietne, es decir, depende de la tasa poblacional.

Influye tanto en la mortalidad como en la natalidad, por lo tanto. Si el tamaño poblacional aumenta los recursos disminuyen. Ejemplo: si yo tengo unos atunes que comen anchoas, si aumentan los atunes disminuyen las anchoas (modelo muy sencillo depredador-presa). En su forma más simple, podemos asumir que dicha densodependecia es lineal (figura de abajo). Al punto de corte en el eje Y le llamaremos rmáx o rm, tasa intrínseca máxima de crecimiento, que caracteriza la dinámica de la población cuando su densidad es muy baja (realmente cuando N−−> 0, valor que implica que no hay población). El punto de corte en el eje X representa la densidad de población que hace que r=0. A este valor particular de N lo vamos a llamar K, parámetro al que nos referiremos como capacidad de carga del medio para la población en cuestión y que, como su nombre indica, hace referencia a la existencia de algún recurso limitante que impide el modelo exponencial.

(G) Ejemplo de densodependencia lineal de r, que ya no es una contante sino una función, por lo que escribir r(N), que no debe confundir con el producto r·N del modelo exponencial. Por el valor que toma r, una vez que N alcanza K, permanecerá contante a lo largo del tiempo. K = capacidad de carga

z=rmax/K(pendiente); Gradiente que nos representa como podría ser la tendencia de la población en función de la densidad poblacional, es decir, la pendiente de la recta. Partiendo del modelo exponencial, su expresión quedaría: 1-N/K Fracción libre recurso (freno al crecimiento poblacional). Para que una población pueda ir más allá de la situación de partida que tiene dependerá de los recursos que tiene para explotar. Lo que nos interesa es el significado ecológico. La densidad poblacional (r) es un freno al crecimiento poblacional.

Podemos asumir que r depende de N. Suponemos que los nacimientos y muertes varían en función del tiempo. La densidad (N) influye sobre el nacimiento y la mortalidad. Esto es lógico debido a que si aumenta la densidad, disminuyen los recursos por lo que o bien aumenta la mortalidad o disminuyen los nacimientos.

(G)Al punto de corte en el eje Y lo llamaremos rmax o rm, tasa intrínseca máxima de crecimiento, que caracteriza la dinámica de la población cuando su densidad es muy baja (realmente cuando N → 0, valor éste que implicaría que ya no hay población). El punto de corte en el eje X representa la densidad de población que hace que r = 0. A este valor particular de N lo vamos a llamar K, parámetro al que nos referimos como capacidad de carga del medio para la población en cuestión y que hace referencia a la existencia de algún recurso limitante que impide a la población crecer indefinidamente como sugería el modelo exponencial. Por el valor que toma r, una vez que N alcance la densidad K, permanecerá constante a lo largo del tiempo. A partir de la función que describe la recta de la imagen podemos describir:

Lo que representa una primera expresión del modelo logístico de una población que crece y experimenta los efectos de la densodependencia. Sustituyendo z por z=rmax/K podemos obtener otras expresiones conocidas del modelo logístico:

(A) La densodependencia de r puede deberse a la respuesta de uno o ambos componentes (natalidad y mortalidad), como se representa en la imagen. A à se asume un aumento lineal de la tasa intrínseca de mortalidad con el aumento de N (m=mmin+iN). B à Se asume, además, una disminución lineal de la tasa intrínseca de natalidad (b=bmax-jN). En el punto de corte entre las dos rectas, ambas tasas se igualan, y por tanto, r se hace cero y N permanece constante en el valor K, es decir:

Cuando se escribe gráficamente el modelo logístico es muy frecuente dibujar una curva sigmoidal, que describe la evolución de N frente a t. La curva sigmoidal presenta un punto de inflexión que coincide con el momento en que la velocidad de crecimiento de la población (dN/dt) es máxima. A partir de ese momento, comienza a disminuir hasta que N alcanza el valor de K, momento en el que dN/dt= 0 y la población deja de crecer tal como describe la curva en forma de campana.