Modelos de Competencia y Equilibrio de Nash en Microeconomía

1. Teoría de Juegos: Estrategias Dominantes y Equilibrio de Nash

Dada la matriz de pagos (6,0), (3,5), (9,-1), (0,0), se presentan las siguientes conclusiones:

• Jugador CD: Pierde 2 por presionar.
• Jugador CP: Si espera, obtiene un beneficio de 5; al mismo tiempo, el CP consume 2.
• Estrategia Dominante: La estrategia dominante para el CP es esperar, ya que siempre obtiene un pago positivo.
• Equilibrio de Nash: Se alcanza cuando el CD presiona y el CP espera.
• Nota: No existe un equilibrio de estrategia dominante absoluto, ya que no hay una estrategia que proporcione a un jugador su mejor resultado independientemente de lo que el otro decida hacer.

2. Modelo de Stackelberg: Liderazgo de Mercado

En una industria con dos empresas donde la empresa con el Costo Marginal (Cmg) menor es la líder:

• Empresa 1 (E1): Cmg = 4
• Empresa 2 (E2): Cmg = 6
• Demanda Inversa: p(Q) = 10 - Q

a) Determinación de la reacción de la seguidora y equilibrio

Para maximizar el beneficio de la Empresa 2 tomando la cantidad producida de E1:

• Beneficio (π2): Ingreso Total - Costo Total
• IT2: P * q2 = (10 - (q1 + q2)) * q2 = 10q2 - q1q2 - q2²
• CT2: Cmg * q2 = 6q2
• π2: (10q2 - q1q2 - q2²) - 6q2 = 4q2 - q1q2 - q2²
• Función de Reacción: Derivando el beneficio respecto a q2, obtenemos: q2 = 2 - 0,5q1

Para maximizar el beneficio de la Empresa 1 (Líder):

• CT1: Cmg * q1 = 4q1
• Precio (P): 10 - (q1 + (2 - 0,5q1)) = 8 - 0,5q1
• π1: (8 - 0,5q1) * q1 - 4q1 = 4q1 - 0,5q1²
• Cantidad E1: Derivando el beneficio, q1 = 4.
• Cantidad E2: q2 = 2 - 0,5(4) = 0.
• Precio de Mercado: P = 10 - 4 = 6.
• Beneficios finales: π1 = (6 - 4) * 4 = 8 | π2 = (6 - 6) * 0 = 0.

b) Cambio tecnológico y nuevo liderazgo

La tecnología disminuye el Cmg de E2 a 4, equiparándolo con E1. Ahora E2 asume el liderazgo:

• Nueva función de reacción E1: π1 = (10 - (q1 + q2))q1 - 4q1 = 6q1 - q1² - q1q2. Derivando: q1 = 3 - 0,5q2.
• Producción del nuevo líder (E2): Q = q1 + q2 = (3 - 0,5q2) + q2 = 3 + 0,5q2.
• Precio: P = 10 - (3 + 0,5q2) = 7 - 0,5q2.
• Beneficio E2: π2 = (7 - 0,5q2)q2 - 4q2 = 3q2 - 0,5q2². Derivando: q2 = 3.
• Producción seguidora (E1): q1 = 3 - 0,5(3) = 1,5.
• Precio de mercado: Qt = 1,5 + 3 = 4,5 | P = 10 - 4,5 = 5,5.
• Nuevo beneficio E2: π2 = (5,5 - 4) * 3 = 4,5 (Esta es la cantidad máxima a pagar por la tecnología).

3. Modelo de Cournot: Competencia entre Tres Empresas

Tres empresas compiten por cantidades con un Cmg = 40 para todas. La función inversa de demanda es p = 240 - 4q.

• Al coludirse, la cantidad no es igual para todos, pero sí la mejor decisión: producen la cantidad de Cournot menos el 30% cada una.
• Ecuación de Beneficio (π): (240 - 4(q1 + q2 + q3))q1 - 40q1 = 200q1 - 4q1² - 4q1q2 - 4q1q3.
• Derivada para optimización: 200 - 8q1 - 4q2 - 4q3 = 0.
• Función de reacción: 8q1 = 200 - 4q2 - 4q3 => q1 = 25 - 0,5q2 - 0,5q3.
• Cálculo de cantidad simétrica: Si q1 = q2 = q3, entonces q1 = 25 - 0,5q1 - 0,5q1, lo que resulta en 2q1 = 25, por lo tanto q1 = 12,5.
• Resultados finales:
  • Cantidad Total (Q): 12,5 * 3 = 37,5.
  • Precio de Mercado (P): 240 - 4(37,5) = 90.