Modelos Financieros Esenciales: Riesgo, Rentabilidad y Valoración de Inversiones

Conceptos Fundamentales de Riesgo y Rentabilidad en Cartera

Definiciones Clave

• X: Porcentaje de acciones en cartera.
• σ: Desviación típica (medida del riesgo de cartera).
• σ²: Varianza (riesgo al cuadrado).
  • Para dos activos (A y B): σ² = X_A² * σ_A² + X_B² * σ_B² + 2 * (X_A * X_B * σ_A * σ_B * φ)
• φ: Coeficiente de Correlación. Su valor puede oscilar entre 1 (correlación positiva perfecta) y –1 (correlación negativa perfecta).

Nota Importante: Cuando se menciona la rentabilidad del proyecto, generalmente se refiere a la del sector, no a la de la empresa específica.

Cálculo del Riesgo de Cartera

Varianza y Desviación Típica

• σ = Raíz cuadrada de σ²
• σ_c² (Varianza de Cartera) = X_A² * σ_A² + X_B² * σ_B² + 2 * (X_A * X_B * σ_A * σ_B * φ)
• Si se trata de Letras del Tesoro, σ = 0 (consideradas sin riesgo).
• σ² (con 3 factores: A, B, C) = X_A² * σ_A² + X_B² * σ_B² + X_C² * σ_C² + 2 * (X_A * X_B * σ_A * σ_B * φ_AB) + 2 * (X_A * X_C * σ_A * σ_C * φ_AC) + 2 * (X_B * X_C * σ_B * σ_C * φ_BC)

Contribución al Riesgo y Beta (β)

• σ_{rentabilidad C} = β * σ_{rentabilidad m}
• Contribución al riesgo del título A = X_A² * σ_A² + (X_A * X_B * σ_A * σ_B * φ)
• β = (Contribución_A / X_A) / σ_c²
• Para una Cartera TOTALMENTE DIVERSIFICADA: β = Covarianza promedio / σ_m²
• Covarianza promedio = σ² * φ
• β también es una medida de riesgo.
• β_c (Beta de Cartera) = X_A * β_A + X_B * β_B

Rentabilidad de Inversiones y Proyectos

Cálculo de Rentabilidad

• Rentabilidad (r_{c o proyecto}) = X_A * r_A + X_B * r_B
• Ratio Rentabilidad-Riesgo = r_c / σ_c. Se utiliza para comparar entre dos opciones y elegir la de mayor ratio.
• Rentabilidad Mixta = r_F + ((r_m - r_F) / σ_c) * σ_mixta
  • Donde σ_mixta = X_c * σ_c + X_F * σ_F
• Rentabilidad Esperada (Modelo CAPM/MEDAF) = r_F + β_A * (r_m - r_F). Esta fórmula se aplica a los activos que componen la rentabilidad de la cartera (r_c).
• Prima de riesgo de mercado = (r_m - r_F)

Relación entre Rentabilidad Esperada y VAN

Si la Rentabilidad Esperada (calculada por CAPM) es mayor que la rentabilidad esperada del proyecto, el Valor Actual Neto (VAN) será negativo.

Fórmulas de Rentabilidad Específicas

• r_A (Rentabilidad de los Activos) = (D/V) * r_D + (E/V) * r_E
• r_A = r_F + β_A * (r_m - r_F)
• r_D (Rentabilidad de la Deuda) = r_F + β_D * (r_m - r_F)

Si la estructura económica no cambia, r_A será constante (aunque r_D y r_E puedan variar).

r (Rentabilidad por Dividendo + Crecimiento) = Div / P₀ + g

Casos Prácticos y Ejercicios

Sistemas de Ecuaciones

• X_A + X_B = 1 (La suma de los porcentajes de inversión debe ser 100%).

Ejercicio de Correlación Perfecta Negativa

Para determinar cuánto invertir en X_A y X_B en un escenario de correlación perfecta negativa:

1. Calcular: σ_B / σ_A = Resultado. Despejar σ_B = Resultado * σ_A.
2. Sustituir σ por X: X_B = Resultado * X_A.
3. Resolver un sistema de ecuaciones con X_A + X_B = 1.
4. Verificar que la varianza (σ²) con las nuevas X_A y X_B sea igual a 0.

Ejercicio de Endeudamiento

Considerando una riqueza inicial de 1 y X_A + X_B = 1:

• Si te endeudas por una cantidad igual a tu riqueza, X_A = -1 (porque inviertes 1 y te endeudas por 1, lo que implica una posición corta en el activo libre de riesgo).
• X_B = 2 (riqueza inicial de 1 más endeudamiento de 1, invertido en el activo de riesgo).
• En este caso, la Rentabilidad Mixta = X_A * r_A + X_B * r_B.
• X_A = -1 se aplica generalmente a las Letras del Tesoro (activo libre de riesgo).
• X_B = 1 + (X_A * -1) se aplica generalmente a las Acciones (activo de riesgo).

Ejercicio de Rentabilidad Mixta (Letras del Tesoro y Rentabilidad de Cartera AB)

R_mixta = X_AB * r_AB + X_F * r_F

Para obtener r_AB, se resuelve un sistema de ecuaciones con:

• r_AB = X_A * r_A + X_B * r_B
• X_A + X_B = 1

Una vez obtenidos X_A y X_B, se multiplican por el porcentaje correspondiente.

Métricas de Diversificación de Cartera

• Número de varianzas = Número de acciones (N)
• Total de covarianzas = N² - N
• Número de covarianzas distintas = (N² - N) / 2
• Desviación típica de las rentabilidades (σ) que tiene la misma cuantía en N acciones:
  • σ² = (1/N) * σ² promedio + (1 - (1/N)) * Covarianza promedio
  • σ² promedio = Σσ² / n - σ²
  • Covarianza promedio = σ² * φ
  • Covarianza promedio = Σσ / Número de σ²

Coste de Capital y Valoración de Proyectos

Conceptos de Capital

• Acciones = Fondos propios. Los accionistas tienen mayor rentabilidad porque asumen mayor riesgo.
• Obligaciones = Fondos ajenos (deuda).

Cálculo del Coste Medio Ponderado de Capital (CMMP / WACC)

• CMMP (r) = Fondos ajenos * r_D + Fondos propios * r_E
• CMMP (r) = (D/V) * r_D + (E/V) * r_E
  • D = Deudas
  • E = Número de acciones * Precio de las acciones
  • V = D + E (Valor total de la empresa)
• Para problemas de sistemas, se puede asumir D + E = 1.

Beta de Activos y Coste de Capital

• β_Activo = % Obligaciones * β_{obligaciones o Deuda} + % Fondos propios * β_FP
• Coste de Capital (CCMP) = Coste de oportunidad del capital = Tasa de oportunidad = r = r_e = r_F + β * (r_m - r_F)

Importante: El Coste de Capital de la empresa (CCMP) no debe usarse para proyectos con un riesgo distinto al de la empresa.

Valor Actual Neto (VAN) y Equivalentes Ciertos

Equivalentes Ciertos de Tesorería (Deducción por Riesgo)

Para hallar el VAN utilizando equivalentes ciertos, primero se calcula el CCMP (r). Luego, se procede de la siguiente manera:

1. Calcular el Valor Actual (VA_n) de cada flujo de caja: VA_n = C_n / (1 + CCMP)ⁿ
2. Convertir el VA_n a Equivalente Cierto de Tesorería (ECt_n): ECt_n = VA_n * (1 + r_m)ⁿ
3. Se recomienda organizar los cálculos en tres columnas: Flujo de Caja (C) de cada año, ECt de cada año y la diferencia entre ambos.

Cálculo del VAN

• Flujo Neto de Caja (FNC) después de impuestos (FNC dt) = FNC antes de impuestos - (%IS) + Amortización fiscal * Tipo Impositivo (IS)
• R (Tasa de descuento del proyecto) = r_F + β * (r_m - r_F)
• VAN = -Inversión Inicial + FNCdt * a_R/n (donde a_R/n es el factor de anualidad)
• VAN = -C₀ + C₁ / (1 + CCMP)¹ + C₂ / (1 + CCMP)² + ...

VAN con Porcentaje de Éxito

VAN = -Inversión Inicial - (Inversión Adicional * %Éxito) / (1 + r_proyecto)ⁿ + Flujo de Caja * %Éxito / r_proyecto * (1 + r_proyecto)^-n

Consideraciones sobre el Riesgo del Proyecto

• Si el Riesgo del Proyecto es mayor que el riesgo actual de la empresa: Se debe usar la tasa de descuento específica del proyecto (r_proyecto), no el %CCMP, r_empresa o coste de capital general.

Rentabilidad Nominal y Real

• R_nominal = R = r_F + β * (r_m - r_F). Esto es válido si r_F se ha calculado con una tasa nominal.
• R_nominal = (1 + r_real) * (1 + g) - 1. (Despejar R_nominal)
• R = (Div / P₀) + g. Donde (Div / P₀) es la rentabilidad por dividendo.

Cálculo del VAN con Crecimiento (g)

• Si se calcula el VAN para un año X con crecimiento (g), por ejemplo, VAN₂₀₁₂ = -C + Flujos / R.
• Para un VAN que abarca varios periodos con flujos futuros y un valor terminal: VAN₂₀₁₀ = -C₀ + C₁ / (1 + r) - C₂₀₁₂ * (1 + r)^-3 + (Flujos / R) * (1 + r)^-3

Recuerda: Cuando la rentabilidad del proyecto es superior al riesgo actual de la empresa, no se puede usar el CAPM de la empresa (ya que es un riesgo específico). En estos casos, todo el cálculo debe realizarse con el Coste de Capital del Proyecto (CCMP).