Modelos Geométricos: Propiedades, Aplicaciones y Continuidad de Curvas

Cualidades de los Modelos Geométricos

Las cualidades de los modelos geométricos permiten la concepción y descripción de cualquier forma. Proporcionan un medio para transmitir la información y son la base para el análisis de cualidades estéticas y funcionales.

Interpolación Global: Propiedades e Inconvenientes

Propiedades

• Invarianza frente a transformaciones afines.
• Resuelve los problemas inherentes al grado de la curva.
• Aportan un alto grado de suavidad a las curvas.

Inconvenientes

• Son poco previsibles los efectos sobre la curva ante el cambio de algún dato.
• La curva cambia totalmente al modificar algún dato.
• No es posible la reproducción exacta y sencilla de cónicas.
• El grado de la curva depende del número de datos que se interpola.
• Incremento de la oscilación de la curva con el número de datos.
• Son poco previsibles los efectos sobre la curva ante el cambio de algún dato.
• La curva cambia totalmente al cambiar algún dato.
• No es posible la reproducción exacta y sencilla.

Aproximación Global: Propiedades e Inconvenientes

Propiedades

• Invarianza frente a transformaciones afines.
• Más adecuadas para cambios interactivos.
• Se mantienen dentro del dominio convexo mínimo de los datos.
• Quedan acotadas sus oscilaciones.
• Invarianzas ante transformaciones perspectivas.
• Es posible la reproducción exacta y sencilla.

Inconvenientes

• El grado de la curva depende del número de datos.
• La curva cambia totalmente al modificar algún dato, aunque resulta más previsible los cambios.

Aproximación Segmentaria: Propiedades

• El grado de la curva es independiente del número de datos.
• Invarianza frente a transformaciones afines.
• Se mantienen dentro del dominio convexo mínimo de los datos.
• Invarianza ante transformaciones perspectivas.

Aplicaciones del Modelo Geométrico

Curvas Interpolantes

Descripción de formas complejas.

Curvas de Aproximación

• Concepción de formas.
• Construcción de cónicas.
• Geometrización de bocetos o formas irregulares.
• Construcción de curvas.
• Caracteres.
• Construcción de superficies.

Continuidad Geométrica de Curvas

En las curvas paramétricas no puede obtenerse el valor de la tangente en un punto de la curva a través de su gráfica. Únicamente es posible conocer su dirección, por ello se introduce el concepto de continuidad geométrica. En los puntos de unión de dos curvas existe continuidad geométrica de orden 'n' de ambas curvas en el punto común, se expresa Gⁿ. En general, la continuidad Cⁿ implica la Gⁿ, pero no la recíproca.

Curvas de Bézier: Propiedades

• La curva pasa por los puntos extremos.
• Las tangentes en estos puntos tienen la dirección de los lados del polígono de control correspondiente.
• Son invariantes ante las transformaciones afines, también frente a reparametrizaciones o sentido de recorrido del parámetro.
• Mantienen la convexidad del dominio.
• Admite valores múltiples.