Modelos Probabilísticos Fundamentales: Binomial e Hipergeométrica

Modelos Probabilísticos

Los fenómenos probabilísticos se caracterizan porque, aun cuando se repitan en las mismas condiciones, no arrojan los mismos resultados. Por ejemplo, para predecir la cantidad de lluvia que caerá en una región, se tienen en cuenta varios factores. Pese a tener suficiente información en este sentido, no es posible predecir con exactitud la cantidad de lluvia que caerá en esa región, debido a que se trata de un fenómeno que no es determinístico, sino probabilístico.

Modelos Discretos

Distribución Binomial

Se define la variable aleatoria X que indica el número de veces que se presentó el suceso "éxito" en las n repeticiones del experimento simple ε₁. Esta variable aleatoria se llama binomial, es discreta y asume n+1 valores (0, 1, 2, ..., n).

Supuestos

• 1. Sea ε una prueba compuesta que consiste en n repeticiones independientes de una misma prueba simple ε₁. La prueba compuesta ε se representa como (ε₁, ε₁, ..., ε₁), n veces.
• 2. Los resultados de cada prueba simple se clasifican en dos categorías: "éxito" y "fallo".
• 3. La probabilidad de éxito P(A)=p permanece constante en cada prueba. La probabilidad de fallo es P(A')=q y se verifica que p+q=1. Se supone que 0 < p < 1.
• 4. En cada una de las realizaciones de la prueba simple ε₁, interesa saber si el éxito ocurrió o no.
• 5. Interesa la frecuencia absoluta del suceso "éxito" al cabo de las n repeticiones de la prueba simple ε₁.

Se usa la siguiente notación: X ~ B(n,p), que significa que X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p (n ∈ N, p ∈ R, 0 < p < 1).

La función de probabilidad es:

Distribución Hipergeométrica

La variable aleatoria X que indica el número de elementos de la categoría de "éxito" presente en la muestra se denomina Hipergeométrica y es discreta.

Supuestos

• 1. Se tiene una población finita de N elementos clasificados en dos categorías: sea N₁ el número de elementos de la categoría "éxito" y N₂ el número de elementos de la categoría "fallo" o "fracaso".
• 2. Se extrae una muestra al azar de tamaño n, sin reposición, de dicha población.
• 3. Interesa que en la muestra de tamaño n aparezcan r elementos de la categoría "éxito".

Parámetros: N, N₁ y n.