Modelos de Regresión: Corte Transversal, Serie de Tiempo y Datos de Panel

Modelos de Regresión

Tipos de Modelos

• Corte transversal: y = α + βx_i + u_i (i = 1, 2, 3,..., n)
• Serie de tiempo: y_t = α + βx_t + u_t (t = 1, 2, 3,..., n)
• Datos de panel: y_it = α + βx_it + u_it

Supuestos del Modelo

• E(u_i) = 0
• E(u_i, u_j) = 0 (no correlación)
• E(u_i, y_i) = 0 (no autocorrelación)
• E(u_i²) = σ², u_i ~ N(0, σ²)

Si no se cumplen estos supuestos, el estimador puede tener una varianza mayor, lo que invalida las pruebas de hipótesis.

Varianza del Estimador Beta

La varianza del estimador β se calcula como σ² / Σ(x_i - x̄)².

Como σ² (varianza poblacional del error) no se conoce, se utiliza el estimador s².

s² es la varianza del error de estimación, que representa el error promedio del modelo al hacer pronósticos. Se calcula como Σe_i² / (n - 2). Se utiliza n - 2 porque se pierden dos grados de libertad al estimar el error utilizando los parámetros α̂ y β̂.

El error estándar es la raíz cuadrada de s². Indica, en promedio, cuánto se equivoca el modelo a partir de cada observación.

Desviación Estándar

La desviación estándar es una medida en términos de la variable que se está midiendo. Por ejemplo, si se mide el promedio de notas, la desviación estándar indica la desviación de cada nota respecto a la media.

Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza, donde la varianza es la suma de las diferencias cuadradas entre cada observación (x_i) y la media (x̄), dividida por el tamaño de la muestra.

La desviación estándar se expresa en las mismas unidades que la variable. Por ejemplo, si la desviación estándar de las notas es 0.8, significa que las notas se alejan 0.8 décimas del promedio.

Sirve para calcular la varianza del estimador.

Insesgamiento de Alfa

Para determinar si α̂ es insesgado, se analiza su definición:

α̂ = ȳ - β̂x̄ (1)

El modelo es y_i = α + βx_i + u_i. Aplicando la sumatoria a ambos lados:

Σy_i = Σ(α + βx_i + u_i)

Σy_i = Σα + Σβx_i + Σu_i

Dividiendo por n:

ȳ = α + βx̄ + ū (2)

Sustituyendo (2) en (1):

α̂ = α + βx̄ + ū - β̂x̄

α̂ = α + (β - β̂)x̄ + ū