Movimiento Oscilatorio y Ondulatorio: Fundamentos de Física

Movimiento Oscilatorio

Movimiento oscilatorio más sin perfil de repetición indefinida en el tiempo.

Según la segunda ley de Newton: F = ma = -kx, por lo que ẍ + (k/m)·x = 0 con ω² = k/m.

Se cumple que sen(ω₀t + Φ + 2π) = sen(ω₀t + φ), y además ω₀(T + t) + Φ = ω₀t + φ + 2π. Si ω₀T = 2π, entonces T = 2π/ω.

Representación de Fresnel

Se considera una partícula que describe una circunferencia de radio A con movimiento circular y velocidad angular constante. Esta se representa mediante su vector de posición (fasor). La proyección del movimiento es x = A·sen(ωt), con velocidad angular Aω. La velocidad se obtiene con vectores tangentes en cada punto, y la aceleración angular Aω² está dirigida hacia el centro: a = -Aω².

Energía del MAS

Energía mecánica del MAS: E = Ec + U = ½mv² + ½kx² (con k = mω²) = ½kA².

Péndulos

Péndulo simple

Ecuaciones: T - mg·cosθ = ma = mv²/L = mLα, de donde θ̈ + (g/L)·sen θ = 0 (para pequeñas oscilaciones, ω₀² = g/L).

Periodo: T = 2π√(L/g).

Energía: E = mgL(1 - cosθ) + ½m(Lθ̇)².

Péndulo físico

Aplicando la segunda ley de Newton para rotación: M = r × F, M = -mgL·sen θ = Iα, por lo que θ̈ + (mgL/I)·sen θ = 0 y ω² = mgL/I.

Péndulo de torsión

M = -τθ = Iα, es decir, θ̈ + (τ/I)·θ = 0.

Oscilaciones Amortiguadas

Fuerza de amortiguamiento: F = -γv.

Ecuación: ẍ + (k/m)x + (γ/m)ẋ = 0, o bien ẍ + 2βẋ + ω₀²x = 0.

• Amortiguamiento débil (β < ω₀): x(t) = A₀·e^(-βt)·sen(ω't + φ), con ω' = √(ω₀² - β²).
• Amortiguamiento crítico (β = ω₀): x(t) = (A₀ + A₁t)·e^(-βt).
• Sobreamortiguamiento (β > ω₀): x(t) = A₁e^(-ω₁t) + A₂e^(-ω₂t), con ω₁ = β + √(β² - ω₀²) y ω₂ = β - √(β² - ω₀²).

Oscilaciones Forzadas

Ecuación: ẍ + 2βẋ + ω₀²x = (F₀/m)·sen(ωt).

Solución homogénea: x_h = A₀·e^(-βt)·sen(ω't - φ).

Solución particular: x_p = A·sen(ωt - δ), donde:

• A = F₀/m / √((ω₀² - ω²)² + 4β²ω²)
• tg δ = 2βω / (ω₀² - ω²)

Resonancia

La amplitud máxima se alcanza cuando ω_max = √(ω₀² - 2β²).

Potencia

Potencia media: P = ½·F₀·ω·A₀·2βω / ((ω₀² - ω²)² + 4β²ω²).

Analogía Electromecánica

Propiedades Elásticas de los Sólidos

El esfuerzo es la medida de la fuerza que actúa sobre una barra cilíndrica al aplicar una fuerza externa: σ = F/S (N/m² o Pa). La deformación unitaria es ε = (l - l₀)/l₀.

El esfuerzo tangencial es F tangente a la superficie: σ(t) = F/S, con γ = tg γ.

La presión en fluidos es hidrostática: Esfuerzo = Presión. La deformación unitaria de volumen es ΔV/V.

Ley de Hooke: σ es proporcional a ε para pequeñas oscilaciones. Al cesar el esfuerzo, la deformación desaparece. Si se supera el límite elástico, el cuerpo no recupera su forma inicial (comportamiento plástico), y si sigue aumentando, se produce la rotura.

Esfuerzo longitudinal

Módulo de Young: E = σ/ε = (F/S)/(Δl/l).

Coeficiente de Poisson: μ = -ε_t/ε_l = (Δl/D)/(Δl/l).

Esfuerzo tangencial

Módulo de cizalladura: G = τ/γ = (F_t/S)/γ.

Compresión uniforme

Módulo de compresibilidad: k = -P/(ΔV/V). Coeficiente de compresibilidad: β = 1/k = -(ΔV/V)/P.

Movimiento Ondulatorio

Una onda es una perturbación que se propaga. Su función es y = f(x ± v·t). Los puntos de un medio material que tienen el mismo estado de deformación en un instante determinado forman un frente de onda.

La ecuación de onda es: ∂²y/∂t² = v²·∂²y/∂x².

Ondas longitudinales

• Barra: v = √(E/ρ)
• Fluido: v = √(k/ρ₀)

Ondas transversales

• Barra: v_t = √(G/ρ)
• Cuerda: v = √(T/μ)

Energía e intensidad

Potencia: P = F·v. Para una cuerda, P = ½·μω²vA².

Intensidad: I = P/S. En un cilindro, I ∝ 1/R; en una esfera, I ∝ 1/R².

Nivel de intensidad sonora: β = 10·log(I/I₀), con I = I₀·e^(-βx).

Velocidad de onda: v = λ/T = ω/k, con λ = 2π/k.

Ondas estacionarias

Expresión: y(x,t) = 2A·sen(kx)·cos(ωt).

• Cuerdas (nodos): λ = 2L/N.
• Tubos abiertos: λ = 2L/N.
• Tubos cerrados: λ = 4L/(2n+1).

ω₀·e^(-βt)