Multicolinealidad y Mínimos Cuadrados Generalizados en Modelos Econométricos

Multicolinealidad en Modelos Econométricos

Definición

La multicolinealidad se define como la existencia de una fuerte combinación lineal entre dos o más variables explicativas de un modelo econométrico. Podemos distinguir dos tipos principales:

• Multicolinealidad exacta: Si la combinación lineal entre las variables es perfecta.
• Multicolinealidad aproximada: Si la relación lineal es elevada pero no llega a ser exacta.

Casos y Causas Comunes

La presencia de este fenómeno suele darse por:

• Presencia de variables de evolución macroeconómica (movimientos cíclicos que provocan comportamientos similares).
• Uso de variables retardadas.
• Inclusión de variables ficticias mal especificadas.
• Variables con una base homogénea.

Consecuencias de la Multicolinealidad

Cuando existe multicolinealidad, se presentan los siguientes problemas técnicos:

• Imposibilidad de cálculo: Los parámetros no se pueden calcular en el caso exacto, dado que la matriz X'X no sería de rango pleno y, por lo tanto, no tendría inversa.
• Inestabilidad: Pequeñas variaciones muestrales provocan grandes variaciones en el estimador.
• Varianza elevada: La matriz de covarianzas del estimador se vuelve "grande", lo que reduce la precisión de las estimaciones.

Métodos de Medición y Detección

Método de Klein

Utiliza el coeficiente de correlación y regresiones auxiliares comparadas con el estadístico F_i (k-1, n-k).

Método de Frisch

Es un análisis secuencial que añade variables clasificándolas en: útiles, superfluas y perjudiciales.

Método de Theil

Se basa en regresiones auxiliares donde se analiza si R_i² > R². Se utilizan los siguientes indicadores:

• TOL (Tolerancia): TOL = 1 - R_i² < 0,1
• FIV (Factor de Inflación de la Varianza): FIV = 1 / (1 - R_i²) > 10

Soluciones Propuestas

Para mitigar la multicolinealidad se sugieren las siguientes estrategias:

• Omisión de variables: Coincide con el principio de parsimonia (simplificar el modelo).
• Primeras diferencias: Útil para eliminar tendencias, aunque puede introducir problemas de autocorrelación.
• Uso de cocientes: Ayuda a controlar la heterocedasticidad.

Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) y Condiciones de la Perturbación

En esta sección analizamos qué sucede cuando se violan los supuestos clásicos sobre el término de error u:

• Heterocedasticidad: Cuando la varianza de u varía en el tiempo o entre observaciones.
• Autocorrelación: Cuando las perturbaciones aleatorias de distintos momentos del tiempo no son independientes entre sí.

Esto implica pasar de una matriz escalar a una matriz no escalar en la estructura de varianzas.

El Estimador MCO en Presencia de No Escalaridad

Bajo estas condiciones, el estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO):

• Sigue siendo insesgado.
• Sin embargo, su varianza resulta ineficiente.

Llegamos a esta conclusión porque las varianzas en la diagonal no son constantes (no es igual a 1 o a un valor único). Esto implica que la varianza de β crece, lo cual es perjudicial para la precisión del modelo. Aunque se admita la normalidad y la no aleatoriedad de las variables exógenas, existe una notable pérdida de eficiencia.

El Estimador MCG - Aitken

Cuando el estimador MCO no es idóneo, recurrimos a los Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG).

El objetivo de los MCG es estimar los mismos coeficientes β consiguiendo una perturbación nueva (v) que cumpla las condiciones clásicas de MCO: E(v v') = σ² I_n.

Transformación del Modelo

Para lograrlo, transformamos el modelo original sin cambiar lo que se desea estimar:

• Modelo original: y = Xβ + u (donde u presenta problemas de varianza).
• Modelo transformado: Py = PXβ + Pu

La matriz de transformación P debe ser tal que el nuevo término de error v = Pu tenga un comportamiento idóneo (matriz escalar):

E(Puu'P') = E(P σ² Ω P') = σ² I_n

A partir de esta transformación, obtenemos el β_MCG, que garantiza estimadores óptimos bajo condiciones de heterocedasticidad o autocorrelación.