Notación científica, potencias y raíces: conversiones, operaciones y ejercicios resueltos

Notación científica

Notación científica: permite escribir números muy pequeños o muy grandes como el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10.

• 0,000000000098 = 9,8 × 10^-11
• 98 000 000 = 9,8 × 10⁷

Producto y cociente

Regla: (a × 10^m) · (b × 10ⁿ) = (a · b) × 10^m+n

Ejemplo:

(4,25 × 10⁹) · (5,6 × 10⁷) = (4,25 · 5,6) × 10⁹⁺⁷ = 23,8 × 10¹⁶

Suma y resta

Para sumar o restar, llevar los factores de 10 al mismo exponente.

Ejemplo:

1,43 × 10⁸ + 5,2 × 10⁷ = 14,3 × 10⁷ + 5,2 × 10⁷ = (14,3 + 5,2) × 10⁷ = 19,5 × 10⁷ = 1,95 × 10⁸

Conversión entre fracción y decimal

Fracción a decimal

• 13/40 = 0,325 (decimal exacto)
• 41/33 = 1,24. (1,2424...) — decimal periódico puro (período: 24)
• 32/15 = 2,13. (2,1333...) — decimal periódico mixto (período: 3)

Decimal exacto a fracción

• 7,395 = 7 395/1 000 (se puede simplificar si se desea)

Decimal periódico puro a fracción

Ejemplo: 3,84. = 3,848484...

Sea N = 3,848484... entonces 100N = 384,848484...; restando: 100N - N = 384,848484... - 3,848484... = 381

99N = 381 ⇒ N = 381/99 = 127/33 (simplificando por 3)

Decimal periódico mixto a fracción

Ejemplo: 1,234. (donde el período es 34, es decir 1,2343434...)

Sea N = 1,2343434...; multiplicamos por 10 y por 1000 para alinear las repeticiones: 10N = 12,343434... y 1000N = 1234,343434...

Restando: 1000N - 10N = 1234,343434... - 12,343434... = 1222

990N = 1222 ⇒ N = 1222/990 (se puede simplificar: N = 611/495)

Potencias

Reglas de las potencias (para a ≠ 0):

• a^m · aⁿ = a^m+n
• a^m : aⁿ = a^m-n
• (a · b)^m = a^m · b^m
• (a/b)^m = a^m / b^m
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}

Problemas resueltos

Enunciado: Si a una cierta cantidad se le quita una tercera parte y después se le quitan tres quintos de lo que quedaba, se queda reducida a 284 unidades. Calcula dicha cantidad.

Quita 1/3

Queda 2/3 — luego quitan 3/5

Queda 2/5 de lo que quedaba → resultado final 284 unidades

Resolución:

Sea T la cantidad inicial. Tras quitar 1/3 queda 2/3·T. Si a lo que queda se le quitan 3/5, permanece (1 - 3/5) = 2/5 de lo que quedaba. Por tanto:

(2/3·T) · (2/5) = 284 ⇒ (4/15)·T = 284

T = 284 · (15/4) = 284 · 3,75 = (284/4) · 15 = 71 · 15 = 1 065

Respuesta: la cantidad inicial es 1 065 unidades.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número x se denota |x| y representa su distancia al origen (siempre no negativa).

• |3 - 7| = |-4| = 4
• |-3 + 2 - 8| = |-9| = 9
• |-3/(2 - 8)| = |-3/(-6)| = |1/2| = 1/2

Raíces

Propiedades de las raíces (para índices positivos y valores adecuados):

• √[n]{a · b} = √[n]{a} · √[n]{b}
• √[n]{a / b} = √[n]{a} / √[n]{b}
• √[n]{a^m} = a^m/n = (√[n]{a})^m

Si se toma la raíz de un producto o de una división, se puede separar en raíz de cada factor como muestran las propiedades.

Respecto a raíces de números negativos:

• Las raíces de índice par (por ejemplo la raíz cuadrada) de números negativos no existen en los números reales.
• Las raíces de índice impar sí pueden existir y el resultado puede ser negativo (por ejemplo, la raíz cúbica de -8 es -2).

Fracción como operador

La fracción a/b puede entenderse como el operador que multiplica una cantidad T: (a/b) · T. Es decir, tomar una fracción de una cantidad.

Notas finales sobre raíces y potencias

Recordar que las propiedades de potencias y raíces permiten transformar expresiones y simplificarlas usando exponentes fraccionarios: a^m/n = √[n]{a^m} = (√[n]{a})^m.