Números Complejos y Vectores en el Plano: Conceptos Clave y Ejercicios

Números Complejos

Operaciones Básicas

• Opuesto: Se cambia el signo a la parte real e imaginaria. Si z = a + bi, entonces -z = -a - bi.
• Conjugado: Se cambia el signo de la parte imaginaria. Si z = a + bi, entonces su conjugado es z̄ = a - bi.

Potencias de la Unidad Imaginaria

iⁿ = i^{(n mod 4)}, donde (n mod 4) es el resto de la división de n entre 4.

Fórmula de De Moivre

(z)ⁿ = (r(cos α + isen α))ⁿ = rⁿ(cos(nα) + isen(nα))

Cambio de Coordenadas

De Binómica a Polar

Si z = a + bi, entonces:

• Módulo: r = √(a² + b²)
• Argumento: α = arctan(b/a) (teniendo en cuenta el cuadrante de z)

De Polar a Binómica

Si z = r(cos α + isen α), entonces:

• a = r * cos α
• b = r * sen α

De Polar a Trigonométrica

z = r(cos α + isen α). Para obtener la forma binómica, se desarrollan las operaciones.

Números Imaginarios Puros

Un número imaginario puro no tiene parte real: z = bi, donde a = 0. En problemas, se pueden separar las unidades imaginarias (i).

Argumento en Diferentes Cuadrantes

Si la tangente del argumento es negativa, se calcula el ángulo en el cuadrante correspondiente:

• Segundo cuadrante: 180° - α
• Tercer cuadrante: 180° + α
• Cuarto cuadrante: 360° - α

Raíces n-ésimas de un Número Complejo

1. Se expresa el número complejo en forma polar: z = r(cos α + isen α).
2. Se calculan las raíces utilizando la fórmula: √ⁿz = √ⁿr (cos((α + 360°k)/n) + isen((α + 360°k)/n)), donde k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Nota: Si se proporciona el argumento en forma binómica, primero se convierte a forma polar. La raíz del módulo se calcula como de costumbre.

Ejemplo de Cálculo de un Número Complejo

1. Se escribe la información dada y se convierte a forma polar. Se obtienen las dos primeras ecuaciones.
2. Las otras dos ecuaciones se obtienen del enunciado, utilizando la forma polar: z = r(cos α + isen α).

Vectores en el Plano

Operaciones con Vectores

• Vector AB: Se resta el punto inicial (A) del punto final (B): AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁).
• Punto Medio: Se calcula la media aritmética de las coordenadas de los dos puntos: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).

Dependencia e Independencia Lineal

• Linealmente Dependientes (LD): Si u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), son LD si u₁/v₁ = u₂/v₂. En este caso, los vectores son paralelos y no forman una base.
• Linealmente Independientes (LI): Si u₁/v₁ ≠ u₂/v₂, los vectores son LI, no son paralelos y forman una base.

Coordenadas de un Vector en una Base

Para expresar un vector w en función de una base {u, v}, se utiliza la combinación lineal: w = t*u + r*v, donde t y r son escalares.

Bases

• Base Canónica: {i, j} = {(1, 0), (0, 1)}
• Base Ortogonal: Dos vectores forman una base ortogonal si son LI (forman una base) y su producto escalar es cero (son perpendiculares).

Ecuaciones de la Recta

Formas de la Ecuación de la Recta

• Vectorial: (x, y) = (x₁, y₁) + t(v₁, v₂), donde (x₁, y₁) es un punto de la recta y (v₁, v₂) es el vector director.
• Paramétricas:
  • x = x₁ + tv₁
  • y = y₁ + tv₂
• Continua: (x - x₁)/v₁ = (y - y₁)/v₂ (se despeja el parámetro t). El punto se expresa con las coordenadas cambiadas de signo. Ejemplo: (x + 1)/2 = (y - 3)/4, el punto es P(-1, 3).
• General o Implícita: Ax + By + C = 0. El vector director es (B, -A) y el vector perpendicular es (-B, A).
• Explícita: y = mx + n, donde m es la pendiente (m = v₂/v₁) y n es la ordenada al origen. Se despeja y de la ecuación general.
• Punto-Pendiente: y - y₁ = m(x - x₁), donde m es la pendiente y (x₁, y₁) es un punto de la recta. El punto se expresa con las coordenadas cambiadas de signo.

Posiciones Relativas de Dos Rectas

• Paralelas: A/A' = B/B' ≠ C/C'
• Secantes: A/A' ≠ B/B'

Punto Simétrico Respecto a una Recta

1. Se obtiene el vector perpendicular (A, B) de la recta.
2. Con el punto dado y el vector perpendicular, se calcula la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto dado.
3. Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la recta dada y la recta perpendicular. La solución del sistema es el punto de intersección, que es el punto medio entre el punto dado y su simétrico.
4. Se utiliza la fórmula del punto medio para despejar las coordenadas del punto simétrico (x₂, y₂), sustituyendo las coordenadas del punto medio y del punto dado.

Distancia Entre un Punto y una Recta

1. Se obtiene el vector perpendicular (A, B) de la recta.
2. Con el vector perpendicular y el punto dado, se calcula la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto dado.
3. Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la recta dada y la recta perpendicular. La solución del sistema es el punto de intersección.
4. Se calcula el vector que va del punto de intersección al punto dado.
5. Se calcula el módulo del vector obtenido en el paso anterior. El módulo del vector es la distancia entre el punto y la recta.

Recta Mediatriz de un Segmento

1. Se calcula el punto medio del segmento.
2. Se calcula el vector director del segmento y se obtiene su ecuación.
3. Se obtiene el vector perpendicular al vector director del segmento. Con este vector perpendicular y el punto medio, se calcula la ecuación de la recta mediatriz.

Distancia Entre Dos Rectas Paralelas

1. Se comprueba que las rectas son paralelas.
2. Se toma el vector director de una de las rectas y un punto de la otra recta.
3. Se aplica la fórmula de la distancia entre un punto y una recta: d(P, r) = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²), donde (x₁, y₁) es el punto y Ax + By + C = 0 es la ecuación de la recta.

Recta Altura de un Triángulo

1. Se calcula el vector que va de un vértice al otro del lado opuesto al vértice desde el que se traza la altura.
2. Con el vector obtenido y el vértice desde el que se traza la altura, se calcula la ecuación de la recta altura.

Área de un Triángulo

1. Se calcula la base del triángulo, que es la distancia entre dos de sus vértices. Se puede utilizar el módulo del vector que une los dos vértices.
2. Se calcula la altura del triángulo, que es la distancia del tercer vértice a la recta que contiene a la base. Se puede utilizar la fórmula de la distancia entre un punto y una recta.
3. Se aplica la fórmula del área del triángulo: Área = (base * altura)/2.

Ángulo Entre Dos Rectas

cos α = (u ⋅ v) / (||u|| ||v||), donde u y v son los vectores directores de las rectas, ⋅ denota el producto escalar y || || denota el módulo del vector.