Números Enteros en Primaria: Dificultades, Inmersión y Multiplicación

Dificultades Frecuentes al Trabajar con Números Enteros en Primaria

Al trabajar con números enteros en el aula de primaria, surgen varias dificultades. Entre las más comunes, encontramos:

• Preconceptos arraigados en la vida real: Los estudiantes suelen asociar los números a cantidades concretas. Por ejemplo, dicen "tengo 50 euros" y "debo 50 euros", en lugar de "tengo +50 euros" y "tengo -50 euros".
• La adición como aumento: La idea de que la adición siempre implica un aumento dificulta comprender que un número sumado a +9 pueda dar como resultado +4.
• Dificultades con el orden: Establecer el orden en el conjunto de los números enteros, especialmente entre los números naturales y los enteros negativos, puede resultar confuso.
• Ruptura con la concepción de número: Algunos autores sostienen que el conocimiento de los números enteros exige una ruptura con la idea de número como expresión de una cantidad existente, de la adición y la multiplicación como un aumento de esta cantidad, la sustracción como una disminución y el orden numérico como el establecido para los números naturales.

Inmersión de los Números Naturales en los Enteros: Definición y Propiedades

Para introducir los números enteros, partimos de los números naturales, sin utilizar ningún otro conjunto. Derivaremos las propiedades de los números naturales y construiremos un conjunto que los incluya.

Una forma de visualizar esta construcción es a través de pares ordenados en el plano cartesiano. Consideremos los pares situados en la diagonal que parte del origen (0,0) y sus paralelas. Estos pares serían de la forma (0,0), (1,1), (2,2), etc.

En el producto cartesiano NxN, definimos la siguiente relación binaria de equivalencia R:

(a,b) R (c,d) ↔ a + d = b + c

Esta relación cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Las clases de equivalencia que se derivan de esta relación R forman una partición en NxN. La clase del punto (x,y) se representa como:

[(x,y)] = {(a,b) ∈ NxN | (x,y) R (a,b)}

Definimos un número entero como cada una de estas clases de equivalencia.

La partición de NxN determinada por la relación de equivalencia R es el conjunto cociente:

NxN/R = {[(x,y)] | (x,y) ∈ NxN}

Finalmente, definimos el conjunto de los números enteros como: Z = NxN/R

Multiplicación de Números Enteros en Primaria: Ejemplo (-3) · (+5)

Para explicar la multiplicación de números enteros en primaria, es fundamental utilizar situaciones problemáticas que contextualicen el concepto. Por ejemplo, podemos usar la temperatura:

"Un termómetro marca una temperatura de 0ºC a las 0h. Si sabemos que hoy la temperatura ha bajado 3ºC cada hora, ¿qué temperatura teníamos a las 5 de la mañana?"

Nos situamos en las 5 horas (hora del día) y multiplicamos los grados centígrados por hora (-3ºC, ya que la temperatura baja) por el número de horas transcurridas (5). El resultado será negativo para indicar que la temperatura está por debajo de 0ºC.

La operación sería: (-3) · (+5) = (-15)

El resultado indica que la temperatura a las 5 de la mañana era de -15ºC. La conclusión es que se deben multiplicar los números, teniendo en cuenta sus signos.

Multiplicación de Números Enteros en Primaria: Ejemplo (+1) · (-2)

Otro ejemplo, utilizando un ascensor:

"Un ascensor se encuentra en la planta baja (0). Si sube un piso por minuto (+1), ¿en qué piso se encontraba hace dos minutos?"

Nos situamos en la planta 0 (posición actual) y multiplicamos los pisos por minuto (+1) por el número de minutos transcurridos en el pasado (-2). El resultado será negativo para indicar que el ascensor estaba por debajo de la planta baja.

La operación sería: (+1) · (-2) = -2

El resultado indica que el ascensor se encontraba en el segundo sótano (-2). De nuevo, la conclusión es que se deben multiplicar los números, considerando sus signos.