Ondas armónicas: transmisión de energía y energía del oscilador armónico simple
Transmisión de energía por ondas armónicas
Consideremos una onda armónica que se propaga en cierta dirección. El oscilador armónico origen del movimiento ondulatorio le había comunicado una energía que se manifiesta como energía cinética y potencial.
Cuando una parte del medio es alcanzada por la perturbación que produce la onda, empieza a vibrar con movimiento armónico simple y adquiere energía cinética, la cual antes estaba en reposo. Al desplazarse de su posición de equilibrio, adquiere energía potencial elástica.
Así, la propagación de la onda lleva consigo un transporte de energía sin que exista transporte neto de materia.
Cuando la partícula alcanza la máxima elongación A, toda su energía es potencial elástica, mientras que cuando pasa por la posición de equilibrio, su energía es cinética.
Ecuaciones fundamentales
- Elongación: y = A cos(ωt − kx)
- Velocidad: v = dy/dt = −Aω sen(ωt − kx)
- Energía: E = ½ m (2πvA)²
Por tanto, la energía transmitida por una onda armónica es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia. La velocidad de propagación de la energía es la de propagación de la onda, que es distinta de la velocidad de vibración de las partículas.
Intensidad de la onda
La intensidad de la onda es la energía que atraviesa, por unidad de tiempo, una superficie unitaria perpendicular a la dirección de propagación de la onda en dicho punto. Su unidad es el vatio/m².
Consideremos una superficie ΔS = 1 m² atravesada perpendicularmente por una onda. En un tiempo Δt = 1 s, la onda recorre una distancia ΔL = vΔt = v metros, donde v es la velocidad de propagación de la onda. Resulta que la intensidad I de la onda es la energía contenida en el cilindro de base ΔS y altura ΔL, que será igual a la densidad de energía por el volumen del cilindro. De la definición de intensidad de onda: I = P / ΔS.
Energía del oscilador armónico simple
La energía cinética es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento. Para un cuerpo de masa m con una celeridad v: Ec = ½ m v².
Si la partícula es un oscilador armónico simple, Ec = ½ m ω² A² sen²(ωt + φ). De aquí deducimos que la energía cinética del oscilador es una función periódica del tiempo y proporcional al cuadrado de la amplitud A y a la constante elástica k.
La energía cinética es nula en la posición de máxima elongación, ya que x = ±A y su velocidad es nula. Conforme se acerca a la posición de equilibrio, la velocidad aumenta y la elongación disminuye, alcanzando la energía cinética su máximo en el centro.
Como la fuerza elástica es conservativa, tiene asociada una función de energía potencial; el trabajo será igual a −ΔU. La energía potencial elástica asociada a una partícula situada en una posición de elongación x es ½ k A² cos²(ωt + φ). De donde deducimos que la energía potencial elástica del oscilador armónico es una función periódica del tiempo, proporcional al cuadrado de la amplitud A y a la constante elástica k. Es máxima en los extremos y nula en x = 0.
La energía mecánica total del oscilador se obtiene sumando la energía cinética y la potencial elástica: E = ½ k A². La energía mecánica total es constante, característica de este sistema, y proporcional al cuadrado de la amplitud. Hay una transferencia continua entre las energías cinética y potencial, pero su suma es constante.