Ondas Estacionarias: Formación, Propiedades y Armónicos en Cuerdas
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Definición de Onda Estacionaria
Llamamos onda estacionaria a la onda producida por la interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud (A) y frecuencia (f o ω), que se propagan en la misma línea pero en sentidos contrarios.
Se producen cuando interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma frecuencia y amplitud, propagándose en sentidos opuestos. Esta situación es común cuando una onda se refleja en un obstáculo, y la onda incidente interfiere con la onda reflejada. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (por ejemplo, una cuerda, un tubo con aire, una membrana, etc.).
Principio de Superposición y Ecuación de las Ondas Estacionarias
Sean dos ondas, y1 e y2, de igual amplitud (A) y frecuencia (ω), que se propagan en la misma dirección y sentidos contrarios. Por ejemplo, si una onda y1 = A sin(ωt - kx) interfiere con otra onda y2 = A sin(ωt + kx).
Si se aplica el principio de superposición (el cual establece que si dos o más ondas se propagan a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto donde coincidan es la suma algebraica de las funciones de onda individuales), se obtiene la ecuación de la onda estacionaria:
y(x,t) = y1 + y2
Una forma común de la ecuación resultante para la onda estacionaria es:
y(x,t) = 2A cos(kx) sin(ωt)
En esta ecuación:
- La parte 2A cos(kx) representa la amplitud de la onda estacionaria, Ar(x). Esta amplitud depende de la posición x pero es independiente del tiempo.
- La parte sin(ωt) describe la oscilación temporal de todos los puntos del medio.
La onda estacionaria es armónica y tiene la misma frecuencia que las ondas componentes. Su amplitud, Ar(x), es independiente del tiempo pero varía sinusoidalmente con la posición x. Es una onda que no viaja y, por lo tanto, no transporta energía neta a lo largo del medio.
Los puntos donde la amplitud Ar(x) es máxima (igual a 2A) se denominan antinodos o vientres. Los puntos donde la amplitud Ar(x) es nula (cero) se denominan nodos. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de estos nodos.
La distancia que separa dos nodos consecutivos, o dos antinodos consecutivos, es media longitud de onda (λ/2). La distancia entre un nodo y un antinodo adyacente es un cuarto de longitud de onda (λ/4).
Ondas Estacionarias Mecánicas en Cuerdas y Armónicos
Las ondas estacionarias se pueden observar claramente en una cuerda tensa sujeta por ambos extremos, en la que se induce una vibración (por ejemplo, al pulsarla o mediante un vibrador externo).
La onda que viaja hacia uno de los extremos se refleja en él. Si los extremos están fijos, la reflexión generalmente invierte la fase de la onda. La onda incidente y la onda reflejada interfieren para producir una onda estacionaria.
No todas las frecuencias de vibración producen ondas estacionarias estables. Para una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, es necesario que estos puntos de fijación sean nodos (amplitud cero). Esta condición física restringe las longitudes de onda posibles:
La longitud de la cuerda (L) debe ser un múltiplo entero de media longitud de onda (λn/2):
L = n (λn / 2)
donde n = 1, 2, 3, ... (n es el número de armónico o modo de vibración).
Por lo tanto, las longitudes de onda permitidas son:
λn = 2L / n
donde n = 1, 2, 3, ...
Y las frecuencias permitidas, llamadas frecuencias propias o frecuencias de resonancia, son:
fn = v / λn = n (v / 2L)
donde n = 1, 2, 3, ... y v es la velocidad de la onda en la cuerda (que depende de la tensión y la densidad lineal de la cuerda).
Estas frecuencias también se conocen como armónicos:
- Para n = 1, la frecuencia f1 = v / 2L es la más baja posible y se denomina frecuencia fundamental o primer armónico. La cuerda vibra en un solo segmento (o huso), con nodos en los extremos y un antinodo en el centro.
- Para n = 2, la frecuencia f2 = 2 (v / 2L) = 2f1 se denomina segundo armónico (o primer sobretono). La cuerda vibra en dos segmentos, con un nodo adicional en el centro.
- Para n = 3, la frecuencia f3 = 3 (v / 2L) = 3f1 se denomina tercer armónico (o segundo sobretono), y así sucesivamente.
Cada uno de estos modos de vibración corresponde a un patrón de onda estacionaria específico en la cuerda.